حساب المثلثات الأمثلة

$\cos^{2} (x) + 6 \cos (x) + 4 = 0$

خطوة 1

عوّض بقيمة $\cos (x)$ التي تساوي $u$ .

${(u)}^{2} + 6 (u) + 4 = 0$

خطوة 2

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 6$ و $c = 4$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $- 4$ في $4$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.3

اطرح $16$ من $36$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.4

أعِد كتابة $20$ بالصيغة $2^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$u = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$u = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

خطوة 4.3

بسّط $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 3 \pm \sqrt{5}$

خطوة 5

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = - 3 + \sqrt{5}, - 3 - \sqrt{5}$

خطوة 6

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - 3 + \sqrt{5}, - 3 - \sqrt{5}$

خطوة 7

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\cos (x) = - 3 + \sqrt{5}$

$\cos (x) = - 3 - \sqrt{5}$

خطوة 8

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = - 3 + \sqrt{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

حوّل المتعادل الأيمن إلى مكافئه بالصيغة العشرية.

$\cos (x) = - 0.76393202$

خطوة 8.2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- 0.76393202)$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

احسِب قيمة $\arccos (- 0.76393202)$ .

$x = 2.44018101$

خطوة 8.4

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 (3.14159265) - 2.44018101$

خطوة 8.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

احذِف الأقواس.

$x = 2 (3.14159265) - 2.44018101$

خطوة 8.5.2

بسّط $2 (3.14159265) - 2.44018101$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.2.1

اضرب $2$ في $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.44018101$

خطوة 8.5.2.2

اطرح $2.44018101$ من $6.2831853$ .

$x = 3.84300429$

خطوة 8.6

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 8.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 8.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 8.6.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 8.7

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2.44018101 + 2 π n, 3.84300429 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 9

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = - 3 - \sqrt{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

حوّل المتعادل الأيمن إلى مكافئه بالصيغة العشرية.

$\cos (x) = - 5.23606797$

خطوة 9.2

مدى جيب التمام هو $- 1 \leq y \leq 1$ . وبما أن $- 5.23606797$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 10

اسرِد جميع الحلول.

$x = 2.44018101 + 2 π n, 3.84300429 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$