حساب المثلثات الأمثلة

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 6 \cos (x) + 9 \sin (x) \cos (x)$

خطوة 1

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $6 \cos (x)$ من كلا المتعادلين.

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) = 9 \sin (x) \cos (x)$

خطوة 1.2

اطرح $9 \sin (x) \cos (x)$ من كلا المتعادلين.

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

خطوة 2

استبدِل $3 \sin^{2} (x)$ بـ $3 (1 - \cos^{2} (x))$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$3 (1 - \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

خطوة 3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

خطوة 3.2

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

خطوة 3.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

خطوة 4

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$- 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) + 3 = 0$

خطوة 5

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط $- 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

انقُل $3$ .

$- 3 \cos^{2} (x) + 3 - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

خطوة 5.1.1.2

أعِد ترتيب $- 3 \cos^{2} (x)$ و $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

خطوة 5.1.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$3 (1) - 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

خطوة 5.1.1.4

أخرِج العامل $3$ من $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$3 (1) + 3 (- \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

خطوة 5.1.1.5

أخرِج العامل $3$ من $3 (1) + 3 (- \cos^{2} (x))$ .

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

خطوة 5.1.2

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$3 \sin^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

خطوة 6

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أضف الأقواس.

$3 \sin^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 (\sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) = 0$

خطوة 6.2

لنفترض أن $u = \cos (x)$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $\cos (x)$ .

$3 \sin^{2} (x) - 6 u - 9 u \sin (x) + 2 \sin (x) = 0$

خطوة 6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- 9 u \sin (x) - 6 u + 3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

خطوة 6.4

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(- 9 u \sin (x) - 6 u) + 3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

خطوة 6.4.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$3 u (- 3 \sin (x) - 2) - \sin (x) (- 3 \sin (x) - 2) = 0$

خطوة 6.5

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- 3 \sin (x) - 2$ .

$(- 3 \sin (x) - 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

خطوة 6.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 \sin (x) - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 \sin (x)$ .

$(- (3 \sin (x)) - 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

خطوة 6.6.2

أعِد كتابة $- 2$ بالصيغة $- 1 (2)$ .

$(- (3 \sin (x)) - 1 \cdot 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

خطوة 6.6.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 \sin (x)) - 1 (2)$ .

$- (3 \sin (x) + 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

خطوة 6.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$- (3 \sin (x) + 2) (3 \cos (x) - \sin (x)) = 0$

خطوة 7

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$3 \sin (x) + 2 = 0$

$3 \cos (x) - \sin (x) = 0$

خطوة 8

عيّن قيمة العبارة $3 \sin (x) + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

عيّن قيمة $3 \sin (x) + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 \sin (x) + 2 = 0$

خطوة 8.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 \sin (x) + 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$3 \sin (x) = - 2$

خطوة 8.2.2

اقسِم كل حد في $3 \sin (x) = - 2$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 \sin (x) = - 2$ على $3$ .

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 2}{3}$

خطوة 8.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 2}{3}$

خطوة 8.2.2.2.1.2

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 2}{3}$

خطوة 8.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sin (x) = - \frac{2}{3}$

خطوة 8.2.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (- \frac{2}{3})$

خطوة 8.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.4.1

احسِب قيمة $\arcsin (- \frac{2}{3})$ .

$x = - 0.72972765$

خطوة 8.2.5

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$

خطوة 8.2.6

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.6.1

اطرح $2 π$ من $2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265 - 2 π$

خطوة 8.2.6.2

الزاوية الناتجة لـ $3.8713203$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$ .

$x = 3.8713203$

خطوة 8.2.7

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 8.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 8.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 8.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 8.2.8

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.8.1

اجمع $2 π$ مع $- 0.72972765$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- 0.72972765 + 2 π$

خطوة 8.2.8.2

اطرح $0.72972765$ من $2 π$ .

$5.55345765$

خطوة 8.2.8.3

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = 5.55345765$

خطوة 8.2.9

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 9

عيّن قيمة العبارة $3 \cos (x) - \sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عيّن قيمة $3 \cos (x) - \sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 \cos (x) - \sin (x) = 0$

خطوة 9.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 \cos (x) - \sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اقسِم كل حد في المعادلة على $\cos (x)$ .

$\frac{3 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 9.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 9.2.2.2

اقسِم $3$ على $1$ .

$3 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 9.2.3

افصِل الكسور.

$3 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 9.2.4

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$3 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 9.2.5

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$3 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 9.2.6

افصِل الكسور.

$3 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

خطوة 9.2.7

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$3 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

خطوة 9.2.8

اقسِم $0$ على $1$ .

$3 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

خطوة 9.2.9

اضرب $0$ في $\sec (x)$ .

$3 - \tan (x) = 0$

خطوة 9.2.10

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$- \tan (x) = - 3$

خطوة 9.2.11

اقسِم كل حد في $- \tan (x) = - 3$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.11.1

اقسِم كل حد في $- \tan (x) = - 3$ على $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 9.2.11.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.11.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 9.2.11.2.2

اقسِم $\tan (x)$ على $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 9.2.11.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.11.3.1

اقسِم $- 3$ على $- 1$ .

$\tan (x) = 3$

خطوة 9.2.12

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (3)$

خطوة 9.2.13

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.13.1

احسِب قيمة $\arctan (3)$ .

$x = 1.24904577$

خطوة 9.2.14

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

خطوة 9.2.15

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.15.1

احذِف الأقواس.

$x = 3.14159265 + 1.24904577$

خطوة 9.2.15.2

احذِف الأقواس.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

خطوة 9.2.15.3

أضف $3.14159265$ و $1.24904577$ .

$x = 4.39063842$

خطوة 9.2.16

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.16.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 9.2.16.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 9.2.16.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 9.2.16.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 9.2.17

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 10

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- (3 \sin (x) + 2) (3 \cos (x) - \sin (x)) = 0$ صحيحة.

$x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n, 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 11

ادمج $1.24904577 + π n$ و $4.39063842 + π n$ في $1.24904577 + π n$ .

$x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n, 1.24904577 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$