حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (2 x) = 2 \sqrt{3} \cos^{2} (x)$

خطوة 1

اطرح $2 \sqrt{3} \cos^{2} (x)$ من كلا المتعادلين.

$\sin (2 x) - 2 \sqrt{3} \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 2

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sqrt{3} \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 3

أخرِج العامل $2 \cos (x)$ من $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sqrt{3} \cos^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $2 \cos (x)$ من $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sqrt{3} \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $2 \cos (x)$ من $- 2 \sqrt{3} \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sqrt{3} \cos (x)) = 0$

خطوة 3.3

أخرِج العامل $2 \cos (x)$ من $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sqrt{3} \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x)) = 0$

خطوة 4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x) = 0$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (0)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.4

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 5.2.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 5.2.4.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 5.2.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 5.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 5.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 5.2.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x) = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اقسِم كل حد في المعادلة على $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 6.2.2

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 6.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\tan (x) + \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 6.2.3.2

اقسِم $- \sqrt{3}$ على $1$ .

$\tan (x) - \sqrt{3} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 6.2.4

افصِل الكسور.

$\tan (x) - \sqrt{3} = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

خطوة 6.2.5

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sqrt{3} = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

خطوة 6.2.6

اقسِم $0$ على $1$ .

$\tan (x) - \sqrt{3} = 0 \sec (x)$

خطوة 6.2.7

اضرب $0$ في $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sqrt{3} = 0$

خطوة 6.2.8

أضف $\sqrt{3}$ إلى كلا المتعادلين.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

خطوة 6.2.9

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

خطوة 6.2.10

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.10.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (\sqrt{3})$ هي $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

خطوة 6.2.11

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = π + \frac{π}{3}$

خطوة 6.2.12

بسّط $π + \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.12.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

خطوة 6.2.12.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.12.2.1

اجمع $π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

خطوة 6.2.12.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

خطوة 6.2.12.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.12.3.1

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

خطوة 6.2.12.3.2

أضف $3 π$ و $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

خطوة 6.2.13

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.13.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 6.2.13.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 6.2.13.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 6.2.13.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 6.2.14

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 \cos (x) (\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x)) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8

وحّد الإجابات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

ادمج $\frac{π}{2} + 2 π n$ و $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ في $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8.2

ادمج $\frac{π}{3} + π n$ و $\frac{4 π}{3} + π n$ في $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{3} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$