حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (2 t) + \sqrt{2} \sin (t) = 0$

خطوة 1

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$2 \sin (t) \cos (t) + \sqrt{2} \sin (t) = 0$

خطوة 2

أخرِج العامل $\sin (t)$ من $2 \sin (t) \cos (t) + \sqrt{2} \sin (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل $\sin (t)$ من $2 \sin (t) \cos (t)$ .

$\sin (t) (2 \cos (t)) + \sqrt{2} \sin (t) = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $\sin (t)$ من $\sqrt{2} \sin (t)$ .

$\sin (t) (2 \cos (t)) + \sin (t) \sqrt{2} = 0$

خطوة 2.3

أخرِج العامل $\sin (t)$ من $\sin (t) (2 \cos (t)) + \sin (t) \sqrt{2}$ .

$\sin (t) (2 \cos (t) + \sqrt{2}) = 0$

خطوة 3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\sin (t) = 0$

$2 \cos (t) + \sqrt{2} = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $\sin (t)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $\sin (t)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (t) = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $t$ في $\sin (t) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $t$ من داخل الجيب.

$t = \arcsin (0)$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$t = 0$

خطوة 4.2.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$t = π - 0$

خطوة 4.2.4

اطرح $0$ من $π$ .

$t = π$

خطوة 4.2.5

أوجِد فترة $\sin (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.2.6

فترة دالة $\sin (t)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$t = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $2 \cos (t) + \sqrt{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $2 \cos (t) + \sqrt{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 \cos (t) + \sqrt{2} = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $t$ في $2 \cos (t) + \sqrt{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $\sqrt{2}$ من كلا المتعادلين.

$2 \cos (t) = - \sqrt{2}$

خطوة 5.2.2

اقسِم كل حد في $2 \cos (t) = - \sqrt{2}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 \cos (t) = - \sqrt{2}$ على $2$ .

$\frac{2 \cos (t)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

خطوة 5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cos (t)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

خطوة 5.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (t)$ على $1$ .

$\cos (t) = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

خطوة 5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos (t) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 5.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $t$ من داخل جيب التمام.

$t = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 5.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ هي $\frac{3 π}{4}$ .

$t = \frac{3 π}{4}$

خطوة 5.2.5

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$t = 2 π - \frac{3 π}{4}$

خطوة 5.2.6

بسّط $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$t = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

خطوة 5.2.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{4}{4}$ .

$t = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

خطوة 5.2.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$t = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

خطوة 5.2.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.3.1

اضرب $4$ في $2$ .

$t = \frac{8 π - 3 π}{4}$

خطوة 5.2.6.3.2

اطرح $3 π$ من $8 π$ .

$t = \frac{5 π}{4}$

خطوة 5.2.7

أوجِد فترة $\cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 5.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 5.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 5.2.8

فترة دالة $\cos (t)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$t = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $\sin (t) (2 \cos (t) + \sqrt{2}) = 0$ صحيحة.

$t = 2 π n, π + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

ادمج $2 π n$ و $π + 2 π n$ في $π n$ .

$t = π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$