حساب المثلثات الأمثلة

$\tan (67.5 °)$

خطوة 1

أعِد كتابة $67.5 °$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$\tan (\frac{135}{2})$

خطوة 2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة المماس.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}$

خطوة 3

غيِّر $\pm$ إلى $+$ نظرًا إلى أن دالة المماس موجبة في الربع الأول.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}$

خطوة 4

بسّط $\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (135)}}$

خطوة 4.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (45)$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

خطوة 4.3

اضرب $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

خطوة 4.3.2

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

خطوة 4.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

خطوة 4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

خطوة 4.6

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}}$

خطوة 4.7

القيمة الدقيقة لـ $\cos (45)$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

خطوة 4.8

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

خطوة 4.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

خطوة 4.10

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

خطوة 4.11

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

خطوة 4.11.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}$

خطوة 4.12

اضرب $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ في $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}$

خطوة 4.13

اضرب $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ في $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

خطوة 4.14

وسّع القاسم باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

خطوة 4.15

بسّط.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 4.16

طبّق خاصية التوزيع.

$\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 4.17

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 4.17.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 4.18

اجمع $\sqrt{2}$ و $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

خطوة 4.19

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.19.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 4.19.2

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 4.19.3

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}$

خطوة 4.19.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.19.4.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}$

خطوة 4.19.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}$

خطوة 4.19.4.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}}$

خطوة 4.19.5

احذِف العامل المشترك لـ $2 \sqrt{2} + 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.19.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}}$

خطوة 4.19.5.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}}$

خطوة 4.19.5.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}}$

خطوة 4.19.5.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.19.5.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}}$

خطوة 4.19.5.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}}$

خطوة 4.19.5.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}}$

خطوة 4.19.5.4.4

اقسِم $\sqrt{2} + 1$ على $1$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1}$

خطوة 4.20

أضف $2$ و $1$ .

$\sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}$

خطوة 4.21

أضف $\sqrt{2}$ و $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

الصيغة العشرية:

$2.41421356 \dots$