حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (2 x) + \sqrt{2 \cos (x)} = 0$

خطوة 1

اطرح $\sin (2 x)$ من كلا المتعادلين.

$\sqrt{2 \cos (x)} = - \sin (2 x)$

خطوة 2

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{2 \cos (x)}}^{2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

خطوة 3

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 \cos (x)}$ في صورة ${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط ${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(2 \cos (x))}^{1} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

خطوة 3.2.1.2

بسّط.

$2 \cos (x) = {(- \sin (2 x))}^{2}$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط ${(- \sin (2 x))}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \sin (2 x)$ .

$2 \cos (x) = {(- 1)}^{2} \sin^{2} (2 x)$

خطوة 3.3.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$2 \cos (x) = 1 \sin^{2} (2 x)$

خطوة 3.3.1.3

اضرب $\sin^{2} (2 x)$ في $1$ .

$2 \cos (x) = \sin^{2} (2 x)$

خطوة 4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اطرح $\sin^{2} (2 x)$ من كلا المتعادلين.

$2 \cos (x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

خطوة 4.2

استبدِل $\sin^{2} (2 x)$ بـ $1 - \cos^{2} (2 x)$ .

$2 \cos (x) - (1 - \cos^{2} (2 x)) = 0$

خطوة 4.3

بسّط المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$2 \cos (x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

خطوة 4.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$2 \cos (x) - {(2 \sin (x) \cos (x))}^{2} = 0$

خطوة 4.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) - ({(2 \sin (x))}^{2} \cos^{2} (x)) = 0$

خطوة 4.3.2.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2^{2} \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) = 0$

خطوة 4.3.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$2 \cos (x) - (4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) = 0$

خطوة 4.3.2.4

اضرب $4$ في $- 1$ .

$2 \cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 4.4

أخرِج العامل $2 \cos (x)$ من $2 \cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أخرِج العامل $2 \cos (x)$ من $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 4.4.2

أخرِج العامل $2 \cos (x)$ من $- 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$

خطوة 4.4.3

أخرِج العامل $2 \cos (x)$ من $2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$

خطوة 4.5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

خطوة 4.6

عيّن قيمة العبارة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

عيّن قيمة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) = 0$

خطوة 4.6.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (0)$

خطوة 4.6.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 4.6.2.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 4.6.2.4

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 4.6.2.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 4.6.2.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 4.6.2.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.4.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 4.6.2.4.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 4.6.2.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.6.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.6.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.6.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.6.2.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4.7

عيّن قيمة العبارة $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

عيّن قيمة $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

خطوة 4.7.2

أوجِد قيمة $x$ في $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.1

استبدِل $\sin^{2} (x)$ بـ $1 - \cos^{2} (x)$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 (1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = 0$

خطوة 4.7.2.2

اضرب $1 - \cos^{2} (x)$ في $1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = 0$

خطوة 4.7.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$1 \cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = 0$

خطوة 4.7.2.4

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = 0$

خطوة 4.7.2.5

اضرب $\cos^{2} (x)$ في $\cos (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.5.1

انقُل $\cos (x)$ .

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = 0$

خطوة 4.7.2.5.2

اضرب $\cos (x)$ في $\cos^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.5.2.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = 0$

خطوة 4.7.2.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 2} = 0$

خطوة 4.7.2.5.3

أضف $1$ و $2$ .

$\cos (x) - \cos^{3} (x) = 0$

خطوة 4.7.2.6

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$- \cos^{3} (x) + \cos (x) = 0$

خطوة 4.7.2.7

عوّض بقيمة $\cos (x)$ التي تساوي $u$ .

$- {(u)}^{3} + u = 0$

خطوة 4.7.2.8

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.8.1

أخرِج العامل $- u$ من $- u^{3} + u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.8.1.1

أخرِج العامل $- u$ من $- u^{3}$ .

$- u \cdot u^{2} + u = 0$

خطوة 4.7.2.8.1.2

أعِد كتابة $u$ بالصيغة $1 u$ .

$- u \cdot u^{2} + 1 u = 0$

خطوة 4.7.2.8.1.3

أخرِج العامل $- u$ من $1 u$ .

$- u \cdot u^{2} - u \cdot - 1 = 0$

خطوة 4.7.2.8.1.4

أخرِج العامل $- u$ من $- u \cdot u^{2} - u \cdot - 1$ .

$- u (u^{2} - 1) = 0$

خطوة 4.7.2.8.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- u (u^{2} - 1^{2}) = 0$

خطوة 4.7.2.8.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.8.3.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = u$ و $b = 1$ .

$- u ((u + 1) (u - 1)) = 0$

خطوة 4.7.2.8.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- u (u + 1) (u - 1) = 0$

خطوة 4.7.2.9

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$u = 0$

$u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

خطوة 4.7.2.10

عيّن قيمة $u$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u = 0$

خطوة 4.7.2.11

عيّن قيمة العبارة $u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.11.1

عيّن قيمة $u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u + 1 = 0$

خطوة 4.7.2.11.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$u = - 1$

خطوة 4.7.2.12

عيّن قيمة العبارة $u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.12.1

عيّن قيمة $u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u - 1 = 0$

خطوة 4.7.2.12.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$u = 1$

خطوة 4.7.2.13

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- u (u + 1) (u - 1) = 0$ صحيحة.

$u = 0, - 1, 1$

خطوة 4.7.2.14

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x) = 0, - 1, 1$

خطوة 4.7.2.15

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) = - 1$

$\cos (x) = 1$

خطوة 4.7.2.16

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.16.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (0)$

خطوة 4.7.2.16.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.16.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 4.7.2.16.3

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 4.7.2.16.4

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.16.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 4.7.2.16.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.16.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 4.7.2.16.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 4.7.2.16.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.16.4.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 4.7.2.16.4.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 4.7.2.16.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.16.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.7.2.16.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.7.2.16.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.7.2.16.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.7.2.16.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4.7.2.17

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.17.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- 1)$

خطوة 4.7.2.17.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.17.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- 1)$ هي $π$ .

$x = π$

خطوة 4.7.2.17.3

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π - π$

خطوة 4.7.2.17.4

اطرح $π$ من $2 π$ .

$x = π$

خطوة 4.7.2.17.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.17.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.7.2.17.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.7.2.17.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.7.2.17.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.7.2.17.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4.7.2.18

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.18.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (1)$

خطوة 4.7.2.18.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.18.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (1)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 4.7.2.18.3

$x = 2 π - 0$

خطوة 4.7.2.18.4

اطرح $0$ من $2 π$ .

$x = 2 π$

خطوة 4.7.2.18.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.18.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.7.2.18.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.7.2.18.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.7.2.18.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.7.2.18.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4.7.2.19

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4.7.2.20

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4.8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

وحّد الإجابات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

ادمج $\frac{π}{2} + 2 π n$ و $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ في $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5.2

ادمج $\frac{π}{2} + π n$ و $\frac{π n}{2}$ في $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

تحقق من صحة كل حل من الحلول بالتعويض بها في $\sin (2 x) + \sqrt{2 \cos (x)} = 0$ وإيجاد الحل.

$x = 4.71238898, 10.99557428$ ، لأي عدد صحيح $n$