حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (2 t) - \cos (t) + 2 \sin (t) - 1 = 0$

خطوة 1

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$2 \sin (t) \cos (t) - \cos (t) + 2 \sin (t) - 1 = 0$

خطوة 2

حلّل $2 \sin (t) \cos (t) - \cos (t) + 2 \sin (t) - 1$ إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$2 \sin (t) \cos (t) - \cos (t) + 2 \sin (t) - 1 = 0$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\cos (t) (2 \sin (t) - 1) + 1 (2 \sin (t) - 1) = 0$

خطوة 2.2

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 \sin (t) - 1$ .

$(2 \sin (t) - 1) (\cos (t) + 1) = 0$

خطوة 3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 \sin (t) - 1 = 0$

$\cos (t) + 1 = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $2 \sin (t) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $2 \sin (t) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 \sin (t) - 1 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $t$ في $2 \sin (t) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 \sin (t) = 1$

خطوة 4.2.2

اقسِم كل حد في $2 \sin (t) = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 \sin (t) = 1$ على $2$ .

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 4.2.2.2.1.2

اقسِم $\sin (t)$ على $1$ .

$\sin (t) = \frac{1}{2}$

خطوة 4.2.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $t$ من داخل الجيب.

$t = \arcsin (\frac{1}{2})$

خطوة 4.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{6}$ .

$t = \frac{π}{6}$

خطوة 4.2.5

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$t = π - \frac{π}{6}$

خطوة 4.2.6

بسّط $π - \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$t = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 4.2.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.1

اجمع $π$ و $\frac{6}{6}$ .

$t = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 4.2.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$t = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

خطوة 4.2.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.3.1

انقُل $6$ إلى يسار $π$ .

$t = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

خطوة 4.2.6.3.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$t = \frac{5 π}{6}$

خطوة 4.2.7

أوجِد فترة $\sin (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.2.8

فترة دالة $\sin (t)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$t = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $\cos (t) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $\cos (t) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (t) + 1 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $t$ في $\cos (t) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\cos (t) = - 1$

خطوة 5.2.2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $t$ من داخل جيب التمام.

$t = \arccos (- 1)$

خطوة 5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- 1)$ هي $π$ .

$t = π$

خطوة 5.2.4

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$t = 2 π - π$

خطوة 5.2.5

اطرح $π$ من $2 π$ .

$t = π$

خطوة 5.2.6

أوجِد فترة $\cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 5.2.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 5.2.6.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 5.2.7

فترة دالة $\cos (t)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$t = π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 \sin (t) - 1) (\cos (t) + 1) = 0$ صحيحة.

$t = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$