حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (2 x) = \cos (3 x)$

خطوة 1

اطرح $\cos (3 x)$ من كلا المتعادلين.

$\sin (2 x) - \cos (3 x) = 0$

خطوة 2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$2 \sin (x) \cos (x) - \cos (3 x) = 0$

خطوة 2.2

استخدِم المتطابقة ثلاثية الزوايا لتحويل $\cos (3 x)$ إلى $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) = 0$

خطوة 2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \sin (x) \cos (x) - (4 \cos^{3} (x)) - (- 3 \cos (x)) = 0$

خطوة 2.4

اضرب $4$ في $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) - (- 3 \cos (x)) = 0$

خطوة 2.5

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x) = 0$

خطوة 3

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x) = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $- 4 \cos^{3} (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x)) + 3 \cos (x) = 0$

خطوة 3.3

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $3 \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3 = 0$

خطوة 3.4

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x))$ .

$\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3 = 0$

خطوة 3.5

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3$ .

$\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3) = 0$

خطوة 4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (0)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.4

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 5.2.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 5.2.4.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 5.2.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 5.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 5.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 5.2.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استبدِل $- 4 \cos^{2} (x)$ بـ $- 4 (1 - \sin^{2} (x))$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 \sin (x) - 4 (1 - \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

خطوة 6.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \sin (x) - 4 \cdot 1 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$2 \sin (x) - 4 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

خطوة 6.2.2.3

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$2 \sin (x) - 4 + 4 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

خطوة 6.2.3

أضف $- 4$ و $3$ .

$2 \sin (x) + 4 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

خطوة 6.2.4

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$4 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

خطوة 6.2.5

عوّض بقيمة $\sin (x)$ التي تساوي $u$ .

$4 {(u)}^{2} + 2 (u) - 1 = 0$

خطوة 6.2.6

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 6.2.7

عوّض بقيم $a = 4$ و $b = 2$ و $c = - 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

خطوة 6.2.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.8.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.8.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

خطوة 6.2.8.1.2

اضرب $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.8.1.2.1

اضرب $- 4$ في $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

خطوة 6.2.8.1.2.2

اضرب $- 16$ في $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

خطوة 6.2.8.1.3

أضف $4$ و $16$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

خطوة 6.2.8.1.4

أعِد كتابة $20$ بالصيغة $2^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.8.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

خطوة 6.2.8.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

خطوة 6.2.8.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

خطوة 6.2.8.2

اضرب $2$ في $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

خطوة 6.2.8.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{4}$

خطوة 6.2.9

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

خطوة 6.2.10

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

خطوة 6.2.11

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

خطوة 6.2.12

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.12.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$

خطوة 6.2.12.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.12.2.1

احسِب قيمة $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$ .

$x = \frac{π}{10}$

خطوة 6.2.12.3

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π$

خطوة 6.2.12.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.12.4.1

اطرح $2 π$ من $2 π - \frac{π}{10} + π$ .

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π - 2 π$

خطوة 6.2.12.4.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{9 π}{10}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π - \frac{π}{10} + π$ .

$x = \frac{9 π}{10}$

خطوة 6.2.12.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.12.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 6.2.12.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 6.2.12.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 6.2.12.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 6.2.12.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6.2.13

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.13.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$

خطوة 6.2.13.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.13.2.1

احسِب قيمة $\arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$ .

$x = - \frac{3 π}{10}$

خطوة 6.2.13.3

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π$

خطوة 6.2.13.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.13.4.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ .

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π - 2 π$

خطوة 6.2.13.4.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{13 π}{10}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ .

$x = \frac{13 π}{10}$

خطوة 6.2.13.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.13.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 6.2.13.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 6.2.13.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 6.2.13.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 6.2.13.6

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.13.6.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{3 π}{10}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{3 π}{10} + 2 π$

خطوة 6.2.13.6.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{10}{10}$ .

$2 π \cdot \frac{10}{10} - \frac{3 π}{10}$

خطوة 6.2.13.6.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.13.6.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{10}{10}$ .

$\frac{2 π \cdot 10}{10} - \frac{3 π}{10}$

خطوة 6.2.13.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 10 - 3 π}{10}$

خطوة 6.2.13.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.13.6.4.1

اضرب $10$ في $2$ .

$\frac{20 π - 3 π}{10}$

خطوة 6.2.13.6.4.2

اطرح $3 π$ من $20 π$ .

$\frac{17 π}{10}$

خطوة 6.2.13.6.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{17 π}{10}$

خطوة 6.2.13.7

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6.2.14

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8

ادمج $\frac{π}{2} + 2 π n$ و $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ في $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$