حساب المثلثات الأمثلة

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos (67.5)}{2}}$

خطوة 1

بسّط $\sqrt{\frac{1 + \cos (67.5)}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (67.5)$ هي $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة $67.5$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{135}{2})}{2}}$

خطوة 1.1.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة جيب التمام $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}}{2}}$

خطوة 1.1.3

غيِّر $\pm$ إلى $+$ نظرًا إلى أن دالة جيب التمام موجبة في الربع الأول.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}}{2}}$

خطوة 1.1.4

بسّط $\sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}}}{2}}$

خطوة 1.1.4.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (45)$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}{2}}$

خطوة 1.1.4.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}{2}}$

خطوة 1.1.4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}}{2}}$

خطوة 1.1.4.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}{2}}$

خطوة 1.1.4.6

اضرب $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.6.1

اضرب $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}{2}}$

خطوة 1.1.4.6.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}}{2}}$

خطوة 1.1.4.7

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}}{2}}$

خطوة 1.1.4.8

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.8.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}}{2}}$

خطوة 1.1.4.8.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

خطوة 1.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

خطوة 1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

خطوة 1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

خطوة 1.5

اضرب $\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}}$

خطوة 1.5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{4}}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{\sqrt{4}}$

خطوة 1.7

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{\sqrt{2^{2}}}$

خطوة 1.7.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{2}$

خطوة 2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$\frac{x}{2} = \arccos (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{2})$

خطوة 3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة $\arccos (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{2})$ .

$\frac{x}{2} = 33.75$

خطوة 4

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 33.75$

خطوة 5

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 33.75$

خطوة 5.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 2 \cdot 33.75$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $2$ في $33.75$ .

$x = 67.5$

خطوة 6

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $360$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$\frac{x}{2} = 360 - 33.75$

خطوة 7

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (360 - 33.75)$

خطوة 7.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{x}{2} = 2 (360 - 33.75)$

خطوة 7.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 2 (360 - 33.75)$

خطوة 7.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

بسّط $2 (360 - 33.75)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1

اطرح $33.75$ من $360$ .

$x = 2 \cdot 326.25$

خطوة 7.2.2.1.2

اضرب $2$ في $326.25$ .

$x = 652.5$

خطوة 8

أوجِد فترة $\cos (\frac{x}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

خطوة 8.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{1}{2}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{360}{| \frac{1}{2} |}$

خطوة 8.3

$\frac{1}{2}$ تساوي تقريبًا $0.5$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{360}{\frac{1}{2}}$

خطوة 8.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$360 \cdot 2$

خطوة 8.5

اضرب $360$ في $2$ .

$720$

خطوة 9

فترة دالة $\cos (\frac{x}{2})$ هي $720$ ، لذا تتكرر القيم كل $720$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$x = 67.5 + 720 n, 652.5 + 720 n$ ، لأي عدد صحيح $n$