حساب المثلثات الأمثلة

$5 \sin (3 x) + 6 \cos (3 x) = 1$

خطوة 1

استخدِم المتطابقة لحل المعادلة. في هذه المتطابقة، تمثل $θ$ الزاوية الناتجة عن تعيين النقطة $(a, b)$ على الرسم البياني، ومن ثمَّ يمكن إيجادها باستخدام $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ حيث $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ و $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

خطوة 2

عيّن المعادلة لإيجاد قيمة $θ$ .

$\tan^{-1} (\frac{6}{5})$

خطوة 3

احسِب قيمة $\tan^{-1} (\frac{6}{5})$ .

$θ = 0.87605805$

خطوة 4

أوجِد قيمة $R$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$R = \sqrt{25 + {(6)}^{2}}$

خطوة 4.2

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$R = \sqrt{25 + 36}$

خطوة 4.3

أضف $25$ و $36$ .

$R = \sqrt{61}$

خطوة 5

عوّض بالقيم المعروفة في المعادلة.

$(\sqrt{61}) \sin (3 x + 0.87605805) = 1$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805) = 1$ على $\sqrt{61}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805) = 1$ على $\sqrt{61}$ .

$\frac{\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805)}{\sqrt{61}} = \frac{1}{\sqrt{61}}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{61}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805)}{\sqrt{61}} = \frac{1}{\sqrt{61}}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $\sin (3 x + 0.87605805)$ على $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{1}{\sqrt{61}}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{61}}$ في $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{1}{\sqrt{61}} \cdot \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$

خطوة 6.3.2

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{61}}$ في $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61} \sqrt{61}}$

خطوة 6.3.2.2

ارفع $\sqrt{61}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} \sqrt{61}}$

خطوة 6.3.2.3

ارفع $\sqrt{61}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} {\sqrt{61}}^{1}}$

خطوة 6.3.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1 + 1}}$

خطوة 6.3.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{2}}$

خطوة 6.3.2.6

أعِد كتابة ${\sqrt{61}}^{2}$ بالصيغة $61$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{61}$ في صورة $61^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{(61^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 6.3.2.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 6.3.2.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 6.3.2.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 6.3.2.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{1}}$

خطوة 6.3.2.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61}$

خطوة 7

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$3 x + 0.87605805 = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{61}}{61})$

خطوة 8

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{61}}{61})$ .

$3 x + 0.87605805 = 0.12838931$

خطوة 9

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اطرح $0.87605805$ من كلا المتعادلين.

$3 x = 0.12838931 - 0.87605805$

خطوة 9.2

اطرح $0.87605805$ من $0.12838931$ .

$3 x = - 0.74766873$

خطوة 10

اقسِم كل حد في $3 x = - 0.74766873$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اقسِم كل حد في $3 x = - 0.74766873$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 0.74766873}{3}$

خطوة 10.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 0.74766873}{3}$

خطوة 10.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 0.74766873}{3}$

خطوة 10.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اقسِم $- 0.74766873$ على $3$ .

$x = - 0.24922291$

خطوة 11

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$3 x + 0.87605805 = (3.14159265) - 0.12838931$

خطوة 12

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اطرح $0.12838931$ من $3.14159265$ .

$3 x + 0.87605805 = 3.01320333$

خطوة 12.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اطرح $0.87605805$ من كلا المتعادلين.

$3 x = 3.01320333 - 0.87605805$

خطوة 12.2.2

اطرح $0.87605805$ من $3.01320333$ .

$3 x = 2.13714528$

خطوة 12.3

اقسِم كل حد في $3 x = 2.13714528$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

اقسِم كل حد في $3 x = 2.13714528$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2.13714528}{3}$

خطوة 12.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2.13714528}{3}$

خطوة 12.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{2.13714528}{3}$

خطوة 12.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.3.1

اقسِم $2.13714528$ على $3$ .

$x = 0.71238176$

خطوة 13

أوجِد فترة $\sin (3 x + 0.87605805)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 13.2

استبدِل $b$ بـ $3$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

خطوة 13.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $3$ تساوي $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

خطوة 14

اجمع $\frac{2 π}{3}$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اجمع $\frac{2 π}{3}$ مع $- 0.24922291$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- 0.24922291 + \frac{2 π}{3}$

خطوة 14.2

اطرح $0.24922291$ من $\frac{2 π}{3}$ .

$1.84517219$

خطوة 14.3

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = 1.84517219$

خطوة 15

فترة دالة $\sin (3 x + 0.87605805)$ هي $\frac{2 π}{3}$ ، لذا تتكرر القيم كل $\frac{2 π}{3}$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 0.71238176 + \frac{2 π n}{3}, 1.84517219 + \frac{2 π n}{3}$ ، لأي عدد صحيح $n$