حساب المثلثات الأمثلة

$8 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) = 2$

خطوة 1

عوّض بقيمة $\sin (x)$ التي تساوي $u$ .

$8 {(u)}^{2} - 4 u = 2$

خطوة 2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$8 u^{2} - 4 u - 2 = 0$

خطوة 3

أخرِج العامل $2$ من $8 u^{2} - 4 u - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $2$ من $8 u^{2}$ .

$2 (4 u^{2}) - 4 u - 2 = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 4 u$ .

$2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u) - 2 = 0$

خطوة 3.3

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u) + 2 (- 1) = 0$

خطوة 3.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u)$ .

$2 (4 u^{2} - 2 u) + 2 (- 1) = 0$

خطوة 3.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (4 u^{2} - 2 u) + 2 (- 1)$ .

$2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$

خطوة 4

اقسِم كل حد في $2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اقسِم كل حد في $2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$ على $2$ .

$\frac{2 (4 u^{2} - 2 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (4 u^{2} - 2 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم $4 u^{2} - 2 u - 1$ على $1$ .

$4 u^{2} - 2 u - 1 = \frac{0}{2}$

خطوة 4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$4 u^{2} - 2 u - 1 = 0$

خطوة 5

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 6

عوّض بقيم $a = 4$ و $b = - 2$ و $c = - 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

خطوة 7.1.2

اضرب $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

اضرب $- 4$ في $4$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

خطوة 7.1.2.2

اضرب $- 16$ في $- 1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

خطوة 7.1.3

أضف $4$ و $16$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

خطوة 7.1.4

أعِد كتابة $20$ بالصيغة $2^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

خطوة 7.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

خطوة 7.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

خطوة 7.2

اضرب $2$ في $4$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

خطوة 7.3

بسّط $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

خطوة 8

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

خطوة 9

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

خطوة 10

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

خطوة 11

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{5}}{4})$

خطوة 11.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

احسِب قيمة $\arcsin (\frac{1 + \sqrt{5}}{4})$ .

$x = \frac{3 π}{10}$

خطوة 11.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - \frac{3 π}{10}$

خطوة 11.4

بسّط $π - \frac{3 π}{10}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{10}{10}$ .

$x = π \cdot \frac{10}{10} - \frac{3 π}{10}$

خطوة 11.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.2.1

اجمع $π$ و $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{π \cdot 10}{10} - \frac{3 π}{10}$

خطوة 11.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 10 - 3 π}{10}$

خطوة 11.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.3.1

انقُل $10$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{10 \cdot π - 3 π}{10}$

خطوة 11.4.3.2

اطرح $3 π$ من $10 π$ .

$x = \frac{7 π}{10}$

خطوة 11.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 11.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 11.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 11.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 11.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{3 π}{10} + 2 π n, \frac{7 π}{10} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 12

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{4})$

خطوة 12.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

احسِب قيمة $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{4})$ .

$x = - \frac{π}{10}$

خطوة 12.3

$x = π + \frac{π}{10}$

خطوة 12.4

بسّط $π + \frac{π}{10}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{10}{10}$ .

$x = π \cdot \frac{10}{10} + \frac{π}{10}$

خطوة 12.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.2.1

اجمع $π$ و $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{π \cdot 10}{10} + \frac{π}{10}$

خطوة 12.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 10 + π}{10}$

خطوة 12.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.3.1

انقُل $10$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{10 \cdot π + π}{10}$

خطوة 12.4.3.2

أضف $10 π$ و $π$ .

$x = \frac{11 π}{10}$

خطوة 12.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 12.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 12.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 12.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 12.6

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.6.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{10}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{10} + 2 π$

خطوة 12.6.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{10}{10}$ .

$2 π \cdot \frac{10}{10} - \frac{π}{10}$

خطوة 12.6.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.6.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{10}{10}$ .

$\frac{2 π \cdot 10}{10} - \frac{π}{10}$

خطوة 12.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 10 - π}{10}$

خطوة 12.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.6.4.1

اضرب $10$ في $2$ .

$\frac{20 π - π}{10}$

خطوة 12.6.4.2

اطرح $π$ من $20 π$ .

$\frac{19 π}{10}$

خطوة 12.6.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{19 π}{10}$

خطوة 12.7

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{11 π}{10} + 2 π n, \frac{19 π}{10} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 13

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{3 π}{10} + 2 π n, \frac{7 π}{10} + 2 π n, \frac{11 π}{10} + 2 π n, \frac{19 π}{10} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$