حساب المثلثات الأمثلة

$8 \sin^{2} (\frac{x}{2}) - 10 \sin (\frac{x}{2}) + 3 = 0$

خطوة 1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لنفترض أن $u = \sin (\frac{x}{2})$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $\sin (\frac{x}{2})$ .

$8 u^{2} - 10 u + 3 = 0$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ ومجموعهما $b = - 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أخرِج العامل $- 10$ من $- 10 u$ .

$8 u^{2} - 10 u + 3 = 0$

خطوة 1.2.1.2

أعِد كتابة $- 10$ في صورة $- 4$ زائد $- 6$

$8 u^{2} + (- 4 - 6) u + 3 = 0$

خطوة 1.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$8 u^{2} - 4 u - 6 u + 3 = 0$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(8 u^{2} - 4 u) - 6 u + 3 = 0$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$4 u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1) = 0$

خطوة 1.2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (4 u - 3) = 0$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (\frac{x}{2})$ .

$(2 \sin (\frac{x}{2}) - 1) (4 \sin (\frac{x}{2}) - 3) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$

خطوة 3.2.2

اقسِم كل حد في $2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ على $2$ .

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.2.2.1.2

اقسِم $\sin (\frac{x}{2})$ على $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{1}{2})$

خطوة 3.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{6}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6}$

خطوة 3.2.5

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

خطوة 3.2.6

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

خطوة 3.2.6.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 2 \frac{π}{6}$

خطوة 3.2.6.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (3)}$

خطوة 3.2.6.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.2.6.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{π}{3}$

خطوة 3.2.7

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{6}$

خطوة 3.2.8

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

خطوة 3.2.8.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

خطوة 3.2.8.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 2 (π - \frac{π}{6})$

خطوة 3.2.8.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.2.2.1

بسّط $2 (π - \frac{π}{6})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.2.2.1.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6})$

خطوة 3.2.8.2.2.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.2.2.1.2.1

اجمع $π$ و $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6})$

خطوة 3.2.8.2.2.1.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

خطوة 3.2.8.2.2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.2.2.1.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 (3)}$

خطوة 3.2.8.2.2.1.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.2.8.2.2.1.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{3}$

خطوة 3.2.8.2.2.1.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.2.2.1.3.1

انقُل $6$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{3}$

خطوة 3.2.8.2.2.1.3.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

خطوة 3.2.9

أوجِد فترة $\sin (\frac{x}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.9.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2.9.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{1}{2}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

خطوة 3.2.9.3

$\frac{1}{2}$ تساوي تقريبًا $0.5$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

خطوة 3.2.9.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \cdot 2$

خطوة 3.2.9.5

اضرب $2$ في $2$ .

$4 π$

خطوة 3.2.10

فترة دالة $\sin (\frac{x}{2})$ هي $4 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $4 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$

خطوة 4.2.2

اقسِم كل حد في $4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اقسِم كل حد في $4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$ على $4$ .

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{3}{4}$

خطوة 4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{3}{4}$

خطوة 4.2.2.2.1.2

اقسِم $\sin (\frac{x}{2})$ على $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{3}{4}$

خطوة 4.2.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{3}{4})$

خطوة 4.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

احسِب قيمة $\arcsin (\frac{3}{4})$ .

$\frac{x}{2} = 0.84806207$

خطوة 4.2.5

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.84806207$

خطوة 4.2.6

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.84806207$

خطوة 4.2.6.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 2 \cdot 0.84806207$

خطوة 4.2.6.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.1

اضرب $2$ في $0.84806207$ .

$x = 1.69612415$

خطوة 4.2.7

$\frac{x}{2} = (3.14159265) - 0.84806207$

خطوة 4.2.8

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.8.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

خطوة 4.2.8.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.8.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.8.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

خطوة 4.2.8.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

خطوة 4.2.8.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.8.2.2.1

بسّط $2 ((3.14159265) - 0.84806207)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.8.2.2.1.1

اطرح $0.84806207$ من $3.14159265$ .

$x = 2 \cdot 2.29353057$

خطوة 4.2.8.2.2.1.2

اضرب $2$ في $2.29353057$ .

$x = 4.58706114$

خطوة 4.2.9

أوجِد فترة $\sin (\frac{x}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.9.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.2.9.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{1}{2}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

خطوة 4.2.9.3

$\frac{1}{2}$ تساوي تقريبًا $0.5$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2.9.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \cdot 2$

خطوة 4.2.9.5

اضرب $2$ في $2$ .

$4 π$

خطوة 4.2.10

فترة دالة $\sin (\frac{x}{2})$ هي $4 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $4 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 1.69612415 + 4 π n, 4.58706114 + 4 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 \sin (\frac{x}{2}) - 1) (4 \sin (\frac{x}{2}) - 3) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n, 1.69612415 + 4 π n, 4.58706114 + 4 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$