حساب المثلثات الأمثلة

$8 \cos^{2} (2 x) + 7 \cos (2 x) - 1 = 0$

خطوة 1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لنفترض أن $u = \cos (2 x)$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $\cos (2 x)$ .

$8 u^{2} + 7 u - 1 = 0$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 8 \cdot - 1 = - 8$ ومجموعهما $b = 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أخرِج العامل $7$ من $7 u$ .

$8 u^{2} + 7 (u) - 1 = 0$

خطوة 1.2.1.2

أعِد كتابة $7$ في صورة $- 1$ زائد $8$

$8 u^{2} + (- 1 + 8) u - 1 = 0$

خطوة 1.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$8 u^{2} - 1 u + 8 u - 1 = 0$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(8 u^{2} - 1 u) + 8 u - 1 = 0$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$u (8 u - 1) + 1 (8 u - 1) = 0$

خطوة 1.2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $8 u - 1$ .

$(8 u - 1) (u + 1) = 0$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (2 x)$ .

$(8 \cos (2 x) - 1) (\cos (2 x) + 1) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$8 \cos (2 x) - 1 = 0$

$\cos (2 x) + 1 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $8 \cos (2 x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $8 \cos (2 x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$8 \cos (2 x) - 1 = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ في $8 \cos (2 x) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$8 \cos (2 x) = 1$

خطوة 3.2.2

اقسِم كل حد في $8 \cos (2 x) = 1$ على $8$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اقسِم كل حد في $8 \cos (2 x) = 1$ على $8$ .

$\frac{8 \cos (2 x)}{8} = \frac{1}{8}$

خطوة 3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{8 \cos (2 x)}{8} = \frac{1}{8}$

خطوة 3.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (2 x)$ على $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{1}{8}$

خطوة 3.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$2 x = \arccos (\frac{1}{8})$

خطوة 3.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

احسِب قيمة $\arccos (\frac{1}{8})$ .

$2 x = 1.44546849$

خطوة 3.2.5

اقسِم كل حد في $2 x = 1.44546849$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

اقسِم كل حد في $2 x = 1.44546849$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.44546849}{2}$

خطوة 3.2.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.44546849}{2}$

خطوة 3.2.5.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{1.44546849}{2}$

خطوة 3.2.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.3.1

اقسِم $1.44546849$ على $2$ .

$x = 0.72273424$

خطوة 3.2.6

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$2 x = 2 (3.14159265) - 1.44546849$

خطوة 3.2.7

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1.1

اضرب $2$ في $3.14159265$ .

$2 x = 6.2831853 - 1.44546849$

خطوة 3.2.7.1.2

اطرح $1.44546849$ من $6.2831853$ .

$2 x = 4.83771681$

خطوة 3.2.7.2

اقسِم كل حد في $2 x = 4.83771681$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = 4.83771681$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4.83771681}{2}$

خطوة 3.2.7.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4.83771681}{2}$

خطوة 3.2.7.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{4.83771681}{2}$

خطوة 3.2.7.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.2.3.1

اقسِم $4.83771681$ على $2$ .

$x = 2.4188584$

خطوة 3.2.8

أوجِد فترة $\cos (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2.8.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

خطوة 3.2.8.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 3.2.8.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 3.2.8.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 3.2.9

فترة دالة $\cos (2 x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 0.72273424 + π n, 2.4188584 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $\cos (2 x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $\cos (2 x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (2 x) + 1 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (2 x) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\cos (2 x) = - 1$

خطوة 4.2.2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$2 x = \arccos (- 1)$

خطوة 4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- 1)$ هي $π$ .

$2 x = π$

خطوة 4.2.4

اقسِم كل حد في $2 x = π$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

اقسِم كل حد في $2 x = π$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

خطوة 4.2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

خطوة 4.2.4.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 4.2.5

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$2 x = 2 π - π$

خطوة 4.2.6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

اطرح $π$ من $2 π$ .

$2 x = π$

خطوة 4.2.6.2

اقسِم كل حد في $2 x = π$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = π$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

خطوة 4.2.6.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

خطوة 4.2.6.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 4.2.7

أوجِد فترة $\cos (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

خطوة 4.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 4.2.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 4.2.7.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 4.2.8

فترة دالة $\cos (2 x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(8 \cos (2 x) - 1) (\cos (2 x) + 1) = 0$ صحيحة.

$x = 0.72273424 + π n, 2.4188584 + π n, \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$