حساب المثلثات الأمثلة

$4 \cos^{2} (x) - 7 \cos (x) - 2 = 0$

خطوة 1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لنفترض أن $u = \cos (x)$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $\cos (x)$ .

$4 u^{2} - 7 u - 2 = 0$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 4 \cdot - 2 = - 8$ ومجموعهما $b = - 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أخرِج العامل $- 7$ من $- 7 u$ .

$4 u^{2} - 7 u - 2 = 0$

خطوة 1.2.1.2

أعِد كتابة $- 7$ في صورة $1$ زائد $- 8$

$4 u^{2} + (1 - 8) u - 2 = 0$

خطوة 1.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$4 u^{2} + 1 u - 8 u - 2 = 0$

خطوة 1.2.1.4

اضرب $u$ في $1$ .

$4 u^{2} + u - 8 u - 2 = 0$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(4 u^{2} + u) - 8 u - 2 = 0$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$u (4 u + 1) - 2 (4 u + 1) = 0$

خطوة 1.2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $4 u + 1$ .

$(4 u + 1) (u - 2) = 0$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$(4 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 2) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$4 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 2 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $4 \cos (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $4 \cos (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 \cos (x) + 1 = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ في $4 \cos (x) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$4 \cos (x) = - 1$

خطوة 3.2.2

اقسِم كل حد في $4 \cos (x) = - 1$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اقسِم كل حد في $4 \cos (x) = - 1$ على $4$ .

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{- 1}{4}$

خطوة 3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{- 1}{4}$

خطوة 3.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{4}$

خطوة 3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos (x) = - \frac{1}{4}$

خطوة 3.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- \frac{1}{4})$

خطوة 3.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

احسِب قيمة $\arccos (- \frac{1}{4})$ .

$x = 1.82347658$

خطوة 3.2.5

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 (3.14159265) - 1.82347658$

خطوة 3.2.6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

احذِف الأقواس.

$x = 2 (3.14159265) - 1.82347658$

خطوة 3.2.6.2

بسّط $2 (3.14159265) - 1.82347658$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.2.1

اضرب $2$ في $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.82347658$

خطوة 3.2.6.2.2

اطرح $1.82347658$ من $6.2831853$ .

$x = 4.45970872$

خطوة 3.2.7

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.2.8

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 1.82347658 + 2 π n, 4.45970872 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $\cos (x) - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $\cos (x) - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) - 2 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) - 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$\cos (x) = 2$

خطوة 4.2.2

مدى جيب التمام هو $- 1 \leq y \leq 1$ . وبما أن $2$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(4 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 2) = 0$ صحيحة.

$x = 1.82347658 + 2 π n, 4.45970872 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$