حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (x) \cos (\frac{π}{7}) - \sin (\frac{π}{7}) \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة $\cos (\frac{π}{7})$ .

$\sin (x) \cdot 0.90096886 - \sin (\frac{π}{7}) \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 1.2

انقُل $0.90096886$ إلى يسار $\sin (x)$ .

$0.90096886 \cdot \sin (x) - \sin (\frac{π}{7}) \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\sin (\frac{π}{7})$ .

$0.90096886 \sin (x) - 1 \cdot (0.43388373 \cos (x)) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 1.4

اضرب $- 1$ في $0.43388373$ .

$0.90096886 \sin (x) - 0.43388373 \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 2

استخدِم المتطابقة لحل المعادلة. في هذه المتطابقة، تمثل $θ$ الزاوية الناتجة عن تعيين النقطة $(a, b)$ على الرسم البياني، ومن ثمَّ يمكن إيجادها باستخدام $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ حيث $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ و $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

خطوة 3

عيّن المعادلة لإيجاد قيمة $θ$ .

$\tan^{-1} (- \frac{0.43388373}{0.90096886})$

خطوة 4

خُذ المماس العكسي لإيجاد حل المعادلة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اقسِم $0.43388373$ على $0.90096886$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 0.48157461)$

خطوة 4.2

اضرب $- 1$ في $0.48157461$ .

$θ = \tan^{-1} (- 0.48157461)$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $\tan^{-1} (- 0.48157461)$ .

$θ = - \frac{π}{7}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $R$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

ارفع $0.90096886$ إلى القوة $2$ .

$R = \sqrt{0.8117449 + {(- 0.43388373)}^{2}}$

خطوة 5.2

ارفع $- 0.43388373$ إلى القوة $2$ .

$R = \sqrt{0.8117449 + 0.18825509}$

خطوة 5.3

أضف $0.8117449$ و $0.18825509$ .

$R = \sqrt{1}$

خطوة 6

عوّض بالقيم المعروفة في المعادلة.

$(\sqrt{1}) \sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ على $\sqrt{1}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ على $\sqrt{1}$ .

$\frac{\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7})}{\sqrt{1}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7})}{\sqrt{1}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $\sin (x - \frac{π}{7})$ على $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

خطوة 7.3.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{1}}$ في $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{1}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}})$

خطوة 7.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{1}}$ في $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1} \sqrt{1}}$

خطوة 7.3.3.2

ارفع $\sqrt{1}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1} \sqrt{1}}$

خطوة 7.3.3.3

ارفع $\sqrt{1}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1} {\sqrt{1}}^{1}}$

خطوة 7.3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1 + 1}}$

خطوة 7.3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{2}}$

خطوة 7.3.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{1}}^{2}$ بالصيغة $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1}$ في صورة $1^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{(1^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 7.3.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 7.3.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.3.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.3.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{1}}$

خطوة 7.3.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1}$

خطوة 7.3.4

احسِب قيمة الجذر.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{1}$

خطوة 7.3.5

اقسِم $1$ على $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1$

خطوة 7.3.6

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 8

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x - \frac{π}{7} = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 9

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{2})$ هي $\frac{π}{4}$ .

$x - \frac{π}{7} = \frac{π}{4}$

خطوة 10

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أضف $\frac{π}{7}$ إلى كلا المتعادلين.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π}{7}$

خطوة 10.2

لكتابة $\frac{π}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7}$

خطوة 10.3

لكتابة $\frac{π}{7}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 10.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $28$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

اضرب $\frac{π}{4}$ في $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{π \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 10.4.2

اضرب $4$ في $7$ .

$x = \frac{π \cdot 7}{28} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 10.4.3

اضرب $\frac{π}{7}$ في $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{7 \cdot 4}$

خطوة 10.4.4

اضرب $7$ في $4$ .

$x = \frac{π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{28}$

خطوة 10.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 7 + π \cdot 4}{28}$

خطوة 10.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.1

انقُل $7$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{7 \cdot π + π \cdot 4}{28}$

خطوة 10.6.2

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{7 π + 4 \cdot π}{28}$

خطوة 10.6.3

أضف $7 π$ و $4 π$ .

$x = \frac{11 π}{28}$

خطوة 11

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x - \frac{π}{7} = π - \frac{π}{4}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط $π - \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$x - \frac{π}{7} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 12.1.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$x - \frac{π}{7} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 12.1.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x - \frac{π}{7} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

خطوة 12.1.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$x - \frac{π}{7} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

خطوة 12.1.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x - \frac{π}{7} = \frac{3 π}{4}$

خطوة 12.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

أضف $\frac{π}{7}$ إلى كلا المتعادلين.

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{π}{7}$

خطوة 12.2.2

لكتابة $\frac{3 π}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7}$

خطوة 12.2.3

لكتابة $\frac{π}{7}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 12.2.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $28$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.4.1

اضرب $\frac{3 π}{4}$ في $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 12.2.4.2

اضرب $4$ في $7$ .

$x = \frac{3 π \cdot 7}{28} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 12.2.4.3

اضرب $\frac{π}{7}$ في $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{7 \cdot 4}$

خطوة 12.2.4.4

اضرب $7$ في $4$ .

$x = \frac{3 π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{28}$

خطوة 12.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{3 π \cdot 7 + π \cdot 4}{28}$

خطوة 12.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.6.1

اضرب $7$ في $3$ .

$x = \frac{21 π + π \cdot 4}{28}$

خطوة 12.2.6.2

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{21 π + 4 \cdot π}{28}$

خطوة 12.2.6.3

أضف $21 π$ و $4 π$ .

$x = \frac{25 π}{28}$

خطوة 13

أوجِد فترة $\sin (x - \frac{π}{7})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 13.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 13.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 13.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 14

فترة دالة $\sin (x - \frac{π}{7})$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{11 π}{28} + 2 π n, \frac{25 π}{28} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$