حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (x) \cos (\frac{π}{2}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2}$

خطوة 1

ربّع كلا المتعادلين.

${(\sin (x) \cos (\frac{π}{2}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}))}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 2

بسّط ${(\sin (x) \cos (\frac{π}{2}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}))}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

${(\sin (x) \cdot 0 + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}))}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 2.1.2

اضرب $\sin (x)$ في $0$ .

${(0 + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}))}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

${(0 + \cos (x) \cdot 1)}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 2.1.4

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

${(0 + \cos (x))}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 2.2

أضف $0$ و $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) = {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 3

بسّط ${(- \frac{1}{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$\cos^{2} (x) = {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 3.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$\cos^{2} (x) = {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}$

خطوة 3.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\cos^{2} (x) = 1 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

خطوة 3.3

اضرب $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1^{2}}{2^{2}}$

خطوة 3.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2^{2}}$

خطوة 3.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{4}$

خطوة 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

خطوة 5

بسّط $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

خطوة 5.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

خطوة 5.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

خطوة 5.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\cos (x) = \pm \frac{1}{2}$

خطوة 6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

خطوة 6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

خطوة 6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

خطوة 7

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

خطوة 8

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

خطوة 8.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

خطوة 8.4

بسّط $2 π - \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 8.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 8.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

خطوة 8.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

خطوة 8.4.3.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

خطوة 8.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 8.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 8.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 8.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 8.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 9

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

خطوة 9.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- \frac{1}{2})$ هي $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

خطوة 9.3

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

خطوة 9.4

بسّط $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 9.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 9.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

خطوة 9.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

خطوة 9.4.3.2

اطرح $2 π$ من $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

خطوة 9.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 9.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 9.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 9.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 9.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 10

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 11

وحّد الحلول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

ادمج $\frac{π}{3} + 2 π n$ و $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ في $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 11.2

ادمج $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ و $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ في $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 12

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\sin (x) \cos (\frac{π}{2}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2}$ صحيحة.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$