حساب المثلثات الأمثلة

$\tan (2 x) - \tan (x) = 0$

خطوة 1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للمماس.

$\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} - \tan (x) = 0$

خطوة 1.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{2 \tan (x)}{1^{2} - \tan^{2} (x)} - \tan (x) = 0$

خطوة 1.2.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = \tan (x)$ .

$\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x) = 0$

خطوة 2

أخرِج العامل $\tan (x)$ من $\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل $\tan (x)$ من $\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}$ .

$\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x) = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $\tan (x)$ من $- \tan (x)$ .

$\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} + \tan (x) \cdot - 1 = 0$

خطوة 2.3

أخرِج العامل $\tan (x)$ من $\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} + \tan (x) \cdot - 1$ .

$\tan (x) (\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1) = 0$

خطوة 3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\tan (x) = 0$

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $\tan (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $\tan (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\tan (x) = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (0)$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 4.2.3

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = π + 0$

خطوة 4.2.4

أضف $π$ و $0$ .

$x = π$

خطوة 4.2.5

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 4.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 4.2.5.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 4.2.6

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = π n, π + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)), 1, 1$

خطوة 5.2.1.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$

خطوة 5.2.2

اضرب كل حد في $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ في $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اضرب كل حد في $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ في $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ .

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

خطوة 5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

خطوة 5.2.2.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

خطوة 5.2.2.2.1.2

وسّع $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 - (1 (1 - \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

خطوة 5.2.2.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 - (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

خطوة 5.2.2.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 - (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

خطوة 5.2.2.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1.3.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$2 - (1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

خطوة 5.2.2.2.1.3.1.2

اضرب $- \tan (x)$ في $1$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

خطوة 5.2.2.2.1.3.1.3

اضرب $\tan (x)$ في $1$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

خطوة 5.2.2.2.1.3.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan (x) \tan (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

خطوة 5.2.2.2.1.3.1.5

اضرب $\tan (x)$ في $\tan (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1.3.1.5.1

انقُل $\tan (x)$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - (\tan (x) \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

خطوة 5.2.2.2.1.3.1.5.2

اضرب $\tan (x)$ في $\tan (x)$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

خطوة 5.2.2.2.1.3.2

أضف $- \tan (x)$ و $\tan (x)$ .

$2 - (1 + 0 - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

خطوة 5.2.2.2.1.3.3

أضف $1$ و $0$ .

$2 - (1 - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

خطوة 5.2.2.2.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$2 - 1 \cdot 1 - - \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

خطوة 5.2.2.2.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 - 1 - - \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

خطوة 5.2.2.2.1.6

اضرب $- - \tan^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$2 - 1 + 1 \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

خطوة 5.2.2.2.1.6.2

اضرب $\tan^{2} (x)$ في $1$ .

$2 - 1 + \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

خطوة 5.2.2.2.2

اطرح $1$ من $2$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

خطوة 5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.3.1

وسّع $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.3.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 (1 - \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x)))$

خطوة 5.2.2.3.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x)))$

خطوة 5.2.2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

خطوة 5.2.2.3.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.3.2.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

خطوة 5.2.2.3.2.1.2

اضرب $- \tan (x)$ في $1$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

خطوة 5.2.2.3.2.1.3

اضرب $\tan (x)$ في $1$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x)))$

خطوة 5.2.2.3.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan (x) \tan (x))$

خطوة 5.2.2.3.2.1.5

اضرب $\tan (x)$ في $\tan (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.3.2.1.5.1

انقُل $\tan (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - (\tan (x) \tan (x)))$

خطوة 5.2.2.3.2.1.5.2

اضرب $\tan (x)$ في $\tan (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan^{2} (x))$

خطوة 5.2.2.3.2.2

أضف $- \tan (x)$ و $\tan (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 + 0 - \tan^{2} (x))$

خطوة 5.2.2.3.2.3

أضف $1$ و $0$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan^{2} (x))$

خطوة 5.2.2.3.3

اضرب $0$ في $1 - \tan^{2} (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0$

خطوة 5.2.3

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\tan^{2} (x) = - 1$

خطوة 5.2.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1}$

خطوة 5.2.3.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$\tan (x) = \pm i$

خطوة 5.2.3.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\tan (x) = i$

خطوة 5.2.3.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\tan (x) = - i$

خطوة 5.2.3.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\tan (x) = i, - i$

خطوة 5.2.4

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\tan (x) = i$

$\tan (x) = - i$

خطوة 5.2.5

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) = i$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (i)$

خطوة 5.2.5.2

دالة المماس العكسية لـ $\arctan (i)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 5.2.6

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) = - i$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (- i)$

خطوة 5.2.6.2

دالة المماس العكسية لـ $\arctan (- i)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 5.2.7

اسرِد جميع الحلول.

لا يوجد حل

خطوة 6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $\tan (x) (\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1) = 0$ صحيحة.

$x = π n, π + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

وحّد الإجابات.

$x = π n$ ، لأي عدد صحيح $n$