حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (2 x) > \cos (2 x)$

خطوة 1

أوجِد حل $\frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < x < \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في المعادلة على $\cos (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} > \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$

خطوة 1.2

حوّل من $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ إلى $\tan (2 x)$ .

$\tan (2 x) > \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\tan (2 x) > \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\tan (2 x) > 1$

خطوة 1.4

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$2 x > \arctan (1)$

خطوة 1.5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (1)$ هي $\frac{π}{4}$ .

$2 x > \frac{π}{4}$

خطوة 1.6

اقسِم كل حد في $2 x > \frac{π}{4}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اقسِم كل حد في $2 x > \frac{π}{4}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

خطوة 1.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

خطوة 1.6.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

خطوة 1.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x > \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 1.6.3.2

اضرب $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.2.1

اضرب $\frac{π}{4}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x > \frac{π}{4 \cdot 2}$

خطوة 1.6.3.2.2

اضرب $4$ في $2$ .

$x > \frac{π}{8}$

خطوة 1.7

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$2 x = π + \frac{π}{4}$

خطوة 1.8

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$2 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 1.8.1.2

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 1.8.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

خطوة 1.8.1.4

أضف $π \cdot 4$ و $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1.4.1

أعِد ترتيب $π$ و $4$ .

$2 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

خطوة 1.8.1.4.2

أضف $4 \cdot π$ و $π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

خطوة 1.8.2

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

خطوة 1.8.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

خطوة 1.8.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

خطوة 1.8.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 1.8.2.3.2

اضرب $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.2.3.2.1

اضرب $\frac{5 π}{4}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

خطوة 1.8.2.3.2.2

اضرب $4$ في $2$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

خطوة 1.9

أوجِد فترة $\tan (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 1.9.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 2 |}$

خطوة 1.9.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{π}{2}$

خطوة 1.10

فترة دالة $\tan (2 x)$ هي $\frac{π}{2}$ ، لذا تتكرر القيم كل $\frac{π}{2}$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.11

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.12

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$

خطوة 1.13

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.1

اختبر قيمة في الفترة $\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.1.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 1$

خطوة 1.13.1.2

استبدِل $x$ بـ $1$ في المتباينة الأصلية.

$\sin (2 (1)) > \cos (2 (1))$

خطوة 1.13.1.3

الطرف الأيسر $0.90929742$ أكبر من الطرف الأيمن $- 0.41614683$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 1.13.2

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$ صحيحة

خطوة 1.14

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$\frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < x < \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2

استخدِم المتباينة $\frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < x < \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ لإنشاء ترميز المجموعة.

${x | \frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < x < \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}}$

خطوة 3