حساب المثلثات الأمثلة

$\frac{\sin (30)}{x} = \frac{\sin (60)}{y}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{\sin (60)}{y} = \frac{\sin (30)}{x}$ .

$\frac{\sin (60)}{y} = \frac{\sin (30)}{x}$

خطوة 2

حلّل كل حد إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (60)$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{y} = \frac{\sin (30)}{x}$

خطوة 2.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{\sin (30)}{x}$

خطوة 2.3

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{2}$ في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{\sin (30)}{x}$

خطوة 2.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (30)$ هي $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{\frac{1}{2}}{x}$

خطوة 2.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 2.6

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{1}{2 x}$

خطوة 3

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$2 y, 2 x$

خطوة 3.2

بما أن $2 y, 2 x$ تحتوي على أعداد ومتغيرات على حدٍّ سواء، فهناك خطوتان لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر. أوجِد المضاعف المشترك الأصغر للجزء العددي $2, 2$ ثم أوجِد المضاعف المشترك الأصغر للجزء المتغير $y^{1}, x^{1}$ .

خطوة 3.3

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 3.4

بما أن $2$ ليس لها عوامل بخلاف $1$ و $2$ .

$2$ هي عدد أولي

خطوة 3.5

المضاعف المشترك الأصغر لـ $2, 2$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$2$

خطوة 3.6

عامل $y^{1}$ هو $y$ نفسها.

$y^{1} = y$

تحدث $y$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 3.7

عامل $x^{1}$ هو $x$ نفسها.

$x^{1} = x$

تحدث $x$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 3.8

المضاعف المشترك الأصغر لـ $y^{1}, x^{1}$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$y \cdot x$

خطوة 3.9

اضرب $y$ في $x$ .

$y x$

خطوة 3.10

المضاعف المشترك الأصغر لـ $2 y, 2 x$ يساوي حاصل ضرب الجزء العددي $2$ في الجزء المتغير.

$2 y x$

خطوة 4

اضرب كل حد في $\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{1}{2 x}$ في $2 y x$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب كل حد في $\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{1}{2 x}$ في $2 y x$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} (2 y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2 y} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

خطوة 4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{2 (y)} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

خطوة 4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2 y} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

خطوة 4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{3}}{y} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

خطوة 4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y x$ .

$\frac{\sqrt{3}}{y} (y (x)) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

خطوة 4.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{3}}{y} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

خطوة 4.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{3} x = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

خطوة 4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\sqrt{3} x = 2 \frac{1}{2 x} (y x)$

خطوة 4.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\sqrt{3} x = 2 \frac{1}{2 (x)} (y x)$

خطوة 4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{3} x = 2 \frac{1}{2 x} (y x)$

خطوة 4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{3} x = \frac{1}{x} (y x)$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $y x$ .

$\sqrt{3} x = \frac{1}{x} (x y)$

خطوة 4.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{3} x = \frac{1}{x} (x y)$

خطوة 4.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{3} x = y$

خطوة 5

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y = \sqrt{3} x$ .

$y = \sqrt{3} x$

خطوة 6

بادِل المتغيرات.

$x = \sqrt{3} y$

خطوة 7

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sqrt{3} y = x$ .

$\sqrt{3} y = x$

خطوة 7.2

اقسِم كل حد في $\sqrt{3} y = x$ على $\sqrt{3}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اقسِم كل حد في $\sqrt{3} y = x$ على $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} y}{\sqrt{3}} = \frac{x}{\sqrt{3}}$

خطوة 7.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{3} y}{\sqrt{3}} = \frac{x}{\sqrt{3}}$

خطوة 7.2.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x}{\sqrt{3}}$

خطوة 7.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اضرب $\frac{x}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{x}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 7.2.3.2

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.2.1

اضرب $\frac{x}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 7.2.3.2.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

خطوة 7.2.3.2.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

خطوة 7.2.3.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 7.2.3.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 7.2.3.2.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.2.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 7.2.3.2.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 7.2.3.2.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.2.3.2.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.2.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.2.3.2.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3^{1}}$

خطوة 7.2.3.2.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3}$

خطوة 8

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{3}}{3}$

خطوة 9

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{3}}{3}$ هي معكوس $f (x) = \sqrt{3} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 9.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 9.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\sqrt{3} x)$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{(\sqrt{3} x) \sqrt{3}}{3}$

خطوة 9.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

خطوة 9.2.3.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

خطوة 9.2.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}$

خطوة 9.2.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x {\sqrt{3}}^{2}}{3}$

خطوة 9.2.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.4.1

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.4.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

خطوة 9.2.4.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

خطوة 9.2.4.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

خطوة 9.2.4.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.4.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

خطوة 9.2.4.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3}{3}$

خطوة 9.2.4.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3}{3}$

خطوة 9.2.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3}{3}$

خطوة 9.2.4.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = x$

خطوة 9.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 9.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{x \sqrt{3}}{3})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \sqrt{3} (\frac{x \sqrt{3}}{3})$

خطوة 9.3.3

اضرب $\sqrt{3} (\frac{x \sqrt{3}}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.1

اجمع $\sqrt{3}$ و $\frac{x \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3} (x \sqrt{3})}{3}$

خطوة 9.3.3.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

خطوة 9.3.3.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

خطوة 9.3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}$

خطوة 9.3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x {\sqrt{3}}^{2}}{3}$

خطوة 9.3.4

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

خطوة 9.3.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

خطوة 9.3.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

خطوة 9.3.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

خطوة 9.3.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3}{3}$

خطوة 9.3.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3}{3}$

خطوة 9.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3}{3}$

خطوة 9.3.5.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = x$

خطوة 9.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{3}}{3}$ هي معكوس $f (x) = \sqrt{3} x$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{3}}{3}$