حساب المثلثات الأمثلة

$\sec^{2} (x - 1)$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \sec^{2} (y - 1)$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sec^{2} (y - 1) = x$ .

$\sec^{2} (y - 1) = x$

خطوة 2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (y - 1) = \pm \sqrt{x}$

خطوة 2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\sec (y - 1) = \sqrt{x}$

خطوة 2.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\sec (y - 1) = - \sqrt{x}$

خطوة 2.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\sec (y - 1) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$

خطوة 2.4

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $y$ .

$\sec (y - 1) = \sqrt{x}$

$\sec (y - 1) = - \sqrt{x}$

خطوة 2.5

أوجِد قيمة $y$ في $\sec (y - 1) = \sqrt{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

خُذ دالة القاطع العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل القاطع.

$y - 1 = arcsec (\sqrt{x})$

خطوة 2.5.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = arcsec (\sqrt{x}) + 1$

خطوة 2.6

أوجِد قيمة $y$ في $\sec (y - 1) = - \sqrt{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

خُذ دالة القاطع العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل القاطع.

$y - 1 = arcsec (- \sqrt{x})$

خطوة 2.6.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = arcsec (- \sqrt{x}) + 1$

خطوة 2.7

اسرِد جميع الحلول.

$y = arcsec (\sqrt{x}) + 1$

$y = arcsec (- \sqrt{x}) + 1$

$y = arcsec (\sqrt{x}) + 1$

$y = arcsec (- \sqrt{x}) + 1$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}) + 1, arcsec (- \sqrt{x}) + 1$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}) + 1, arcsec (- \sqrt{x}) + 1$ هي معكوس $f (x) = \sec^{2} (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى $f (x) = \sec^{2} (x - 1)$ و $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}) + 1, arcsec (- \sqrt{x}) + 1$ وقارن بينهما.

خطوة 4.2

أوجِد مدى $f (x) = \sec^{2} (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[1, \infty)$

خطوة 4.3

أوجِد نطاق $arcsec (\sqrt{x}) + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x \geq 0$

خطوة 4.3.2

عيّن قيمة المتغير المستقل في $arcsec (\sqrt{x})$ بحيث تصبح أصغر من أو تساوي $- 1$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$\sqrt{x} \leq - 1$

خطوة 4.3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

لحذف الجذر في الطرف الأيسر للمتباينة، ربّع كلا طرفي المتباينة.

${\sqrt{x}}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

خطوة 4.3.3.2

بسّط كل طرف من طرفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

خطوة 4.3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.2.1

بسّط ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.2.1.1

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

خطوة 4.3.3.2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

خطوة 4.3.3.2.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{1} \leq {(- 1)}^{2}$

خطوة 4.3.3.2.2.1.2

بسّط.

$x \leq {(- 1)}^{2}$

خطوة 4.3.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.3.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$x \leq 1$

خطوة 4.3.3.3

أوجِد نطاق $\sqrt{x} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.3.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x \geq 0$

خطوة 4.3.3.3.2

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$[0, \infty)$

خطوة 4.3.3.4

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

خطوة 4.3.3.5

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.5.1

اختبر قيمة في الفترة $x < 0$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.5.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < 0$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 2$

خطوة 4.3.3.5.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 2$ في المتباينة الأصلية.

$\sqrt{- 2} \leq - 1$

خطوة 4.3.3.5.1.3

الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 4.3.3.5.2

اختبر قيمة في الفترة $0 < x < 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.5.2.1

اختر قيمة من الفترة $0 < x < 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0.5$

خطوة 4.3.3.5.2.2

استبدِل $x$ بـ $0.5$ في المتباينة الأصلية.

$\sqrt{0.5} \leq - 1$

خطوة 4.3.3.5.2.3

الطرف الأيسر $0.70710678$ أكبر من الطرف الأيمن $- 1$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 4.3.3.5.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.5.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 4$

خطوة 4.3.3.5.3.2

استبدِل $x$ بـ $4$ في المتباينة الأصلية.

$\sqrt{4} \leq - 1$

خطوة 4.3.3.5.3.3

الطرف الأيسر $2$ أكبر من الطرف الأيمن $- 1$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 4.3.3.5.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < 0$ خطأ

$0 < x < 1$ خطأ

$x > 1$ خطأ

$x < 0$ خطأ

$0 < x < 1$ خطأ

$x > 1$ خطأ

خطوة 4.3.3.6

بما أنه لا توجد أي أعداد واقعة ضمن الفترة، إذن لا يوجد حل لهذه المتباينة.

لا يوجد حل

خطوة 4.3.4

عيّن قيمة المتغير المستقل في $arcsec (\sqrt{x})$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $1$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$\sqrt{x} \geq 1$

خطوة 4.3.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

لحذف الجذر في الطرف الأيسر للمتباينة، ربّع كلا طرفي المتباينة.

${\sqrt{x}}^{2} \geq 1^{2}$

خطوة 4.3.5.2

بسّط كل طرف من طرفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 1^{2}$

خطوة 4.3.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.2.2.1

بسّط ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.2.2.1.1

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.2.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

خطوة 4.3.5.2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.2.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

خطوة 4.3.5.2.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{1} \geq 1^{2}$

خطوة 4.3.5.2.2.1.2

بسّط.

$x \geq 1^{2}$

خطوة 4.3.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.2.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$x \geq 1$

خطوة 4.3.5.3

أوجِد نطاق $\sqrt{x} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.3.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x \geq 0$

خطوة 4.3.5.3.2

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$[0, \infty)$

خطوة 4.3.5.4

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x \geq 1$

خطوة 4.3.6

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$[0, \infty)$

خطوة 4.4

بما أن نطاق $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}) + 1, arcsec (- \sqrt{x}) + 1$ لا يساوي مدى $f (x) = \sec^{2} (x - 1)$ ، إذن $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}) + 1, arcsec (- \sqrt{x}) + 1$ ليست معكوس $f (x) = \sec^{2} (x - 1)$ .

لا يوجد معكوس

خطوة 5