حساب المثلثات الأمثلة

$\frac{\sec (x)}{\csc (x)}$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{\sec (y)}{\csc (y)}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{\sec (y)}{\csc (y)} = x$ .

$\frac{\sec (y)}{\csc (y)} = x$

خطوة 2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط $\frac{\sec (y)}{\csc (y)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أعِد كتابة $\csc (y)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{\sec (y)}{\frac{1}{\sin (y)}} = x$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة $\sec (y)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{\frac{1}{\cos (y)}}{\frac{1}{\sin (y)}} = x$

خطوة 2.2.1.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)} = x$

خطوة 2.2.1.4

حوّل من $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ إلى $\tan (y)$ .

$\tan (y) = x$

خطوة 2.3

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل المماس.

$y = \arctan (x)$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arctan (x)$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \arctan (x)$ هي معكوس $f (x) = \frac{\sec (x)}{\csc (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\sec (x)}{\csc (x)})$

خطوة 4.2.3

أعِد كتابة $\csc (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\sec (x)}{\frac{1}{\sin (x)}})$

خطوة 4.2.4

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}})$

خطوة 4.2.5

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

خطوة 4.2.6

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\tan (x))$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (\arctan (x))$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\arctan (x)) = \frac{\sec (\arctan (x))}{\csc (\arctan (x))}$

خطوة 4.3.3

أعِد كتابة $\csc (\arctan (x))$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$f (\arctan (x)) = \frac{\sec (\arctan (x))}{\frac{1}{\sin (\arctan (x))}}$

خطوة 4.3.4

أعِد كتابة $\sec (\arctan (x))$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$f (\arctan (x)) = \frac{\frac{1}{\cos (\arctan (x))}}{\frac{1}{\sin (\arctan (x))}}$

خطوة 4.3.5

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\sin (\arctan (x))}$ .

$f (\arctan (x)) = \frac{\sin (\arctan (x))}{\cos (\arctan (x))}$

خطوة 4.3.6

حوّل من $\frac{\sin (\arctan (x))}{\cos (\arctan (x))}$ إلى $\tan (\arctan (x))$ .

$f (\arctan (x)) = \tan (\arctan (x))$

خطوة 4.3.7

تُعد دالتا المماس وقوس الظل دالتين متعاكستين.

$f (\arctan (x)) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \arctan (x)$ هي معكوس $f (x) = \frac{\sec (x)}{\csc (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \arctan (x)$