حساب المثلثات الأمثلة

$\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} = x$ .

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} = x$

خطوة 2.2

اضرب كلا الطرفين في $1 + \cot (y)$ .

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y)) = x (1 + \cot (y))$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

بسّط $\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + \cot (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y)) = x (1 + \cot (y))$

خطوة 2.3.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 - \cot (- y) = x (1 + \cot (y))$

خطوة 2.3.1.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.2.1

بما أن $\cot (- y)$ دالة فردية، أعِد كتابة $\cot (- y)$ في صورة $- \cot (y)$ .

$1 - - \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

خطوة 2.3.1.1.2.2

اضرب $- - \cot (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.2.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 + 1 \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

خطوة 2.3.1.1.2.2.2

اضرب $\cot (y)$ في $1$ .

$1 + \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

بسّط $x (1 + \cot (y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$1 + \cot (y) = x \cdot 1 + x \cot (y)$

خطوة 2.3.2.1.2

اضرب $x$ في $1$ .

$1 + \cot (y) = x + x \cot (y)$

خطوة 2.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عوّض بقيمة $\cot (y)$ التي تساوي $u$ .

$1 + u = x + x (u)$

خطوة 2.4.2

اطرح $x u$ من كلا المتعادلين.

$1 + u - x u = x$

خطوة 2.4.3

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$u - x u = x - 1$

خطوة 2.4.4

أخرِج العامل $u$ من $u - x u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

أخرِج العامل $u$ من $u^{1}$ .

$u \cdot 1 - x u = x - 1$

خطوة 2.4.4.2

أخرِج العامل $u$ من $- x u$ .

$u \cdot 1 + u (- x) = x - 1$

خطوة 2.4.4.3

أخرِج العامل $u$ من $u \cdot 1 + u (- x)$ .

$u (1 - x) = x - 1$

خطوة 2.4.5

اقسِم كل حد في $u (1 - x) = x - 1$ على $1 - x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.5.1

اقسِم كل حد في $u (1 - x) = x - 1$ على $1 - x$ .

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

خطوة 2.4.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

خطوة 2.4.5.2.1.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

خطوة 2.4.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.5.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$u = \frac{x - 1}{1 - x}$

خطوة 2.4.5.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $x - 1$ و $1 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.5.3.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $x$ .

$u = \frac{- 1 (- x) - 1}{1 - x}$

خطوة 2.4.5.3.2.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$u = \frac{- 1 (- x) - 1 (1)}{1 - x}$

خطوة 2.4.5.3.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (- x) - 1 (1)$ .

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{1 - x}$

خطوة 2.4.5.3.2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

خطوة 2.4.5.3.2.5

ألغِ العامل المشترك.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

خطوة 2.4.5.3.2.6

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$u = - 1$

خطوة 2.4.6

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\cot (y)$ .

$\cot (y) = - 1$

خطوة 2.4.7

خُذ ظل التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل ظل التمام.

$y = arccot (- 1)$

خطوة 2.4.8

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.8.1

القيمة الدقيقة لـ $arccot (- 1)$ هي $\frac{3 π}{4}$ .

$y = \frac{3 π}{4}$

خطوة 2.4.9

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$y = \frac{3 π}{4} - π$

خطوة 2.4.10

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.10.1

أضف $2 π$ إلى $\frac{3 π}{4} - π$ .

$y = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

خطوة 2.4.10.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{7 π}{4}$ موجبة ومشتركة النهاية مع $\frac{3 π}{4} - π$ .

$y = \frac{7 π}{4}$

خطوة 2.4.11

أوجِد فترة $\cot (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.11.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 2.4.11.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 2.4.11.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 2.4.11.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 2.4.12

فترة دالة $\cot (y)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$y = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.5

وحّد الإجابات.

$y = \frac{3 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$ هي معكوس $f (x) = \frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}) = \frac{3 π}{4} + π n$

خطوة 4.2.3

أعِد ترتيب $\frac{3 π}{4}$ و $π n$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}) = π n + \frac{3 π}{4}$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{3 π}{4} + π n)$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{3 π}{4} + π n) = \frac{1 - \cot (- (\frac{3 π}{4} + π n))}{1 + \cot (\frac{3 π}{4} + π n)}$

خطوة 4.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{3 π}{4} + π n) = \frac{1 - \cot (- \frac{3 π}{4} - π n)}{1 + \cot (\frac{3 π}{4} + π n)}$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$ هي معكوس $f (x) = \frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$