حساب المثلثات الأمثلة

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$

خطوة 1

اطرح $\frac{1}{x}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x}$

خطوة 2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$y, 1, x$

خطوة 2.2

Since $y, 1, x$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}, x^{1}$ .

خطوة 2.3

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 2.4

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 2.5

المضاعف المشترك الأصغر لـ $1, 1, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$1$

خطوة 2.6

عامل $y^{1}$ هو $y$ نفسها.

$y^{1} = y$

تحدث $y$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.7

عامل $x^{1}$ هو $x$ نفسها.

$x^{1} = x$

تحدث $x$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.8

المضاعف المشترك الأصغر لـ $y^{1}, x^{1}$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$y \cdot x$

خطوة 2.9

اضرب $y$ في $x$ .

$y x$

خطوة 3

اضرب كل حد في $\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x}$ في $y x$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x}$ في $y x$ .

$\frac{1}{y} (y x) = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أخرِج العامل $y$ من $y x$ .

$\frac{1}{y} (y (x)) = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

خطوة 3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} (y x) = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

خطوة 3.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

اضرب $y x$ في $1$ .

$x = y x - \frac{1}{x} (y x)$

خطوة 3.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{x}$ إلى بسط الكسر.

$x = y x + \frac{- 1}{x} (y x)$

خطوة 3.3.1.2.2

أخرِج العامل $x$ من $y x$ .

$x = y x + \frac{- 1}{x} (x y)$

خطوة 3.3.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$x = y x + \frac{- 1}{x} (x y)$

خطوة 3.3.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$x = y x - y$

خطوة 4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y x - y = x$ .

$y x - y = x$

خطوة 4.2

أخرِج العامل $y$ من $y x - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y x$ .

$y (x) - y = x$

خطوة 4.2.2

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

خطوة 4.2.3

أخرِج العامل $y$ من $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = x$

خطوة 4.3

اقسِم كل حد في $y (x - 1) = x$ على $x - 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اقسِم كل حد في $y (x - 1) = x$ على $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

خطوة 4.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

خطوة 4.3.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1}$

خطوة 5

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{y}{y - 1}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب المعادلة في $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط $(y - 1) (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y x - 1 x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

خطوة 6.2.1.2

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y x - x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y x - x = \frac{y}{y - 1} (y - 1)$

خطوة 6.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y x - x = y$

خطوة 6.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$y x - x - y = 0$

خطوة 6.4.2

أضف $x$ إلى كلا المتعادلين.

$y x - y = x$

خطوة 6.4.3

أخرِج العامل $y$ من $y x - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y x$ .

$y (x) - y = x$

خطوة 6.4.3.2

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

خطوة 6.4.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = x$

خطوة 6.4.4

اقسِم كل حد في $y (x - 1) = x$ على $x - 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.4.1

اقسِم كل حد في $y (x - 1) = x$ على $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

خطوة 6.4.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

خطوة 6.4.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1}$

خطوة 7

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$

خطوة 8

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ هي معكوس $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 8.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 8.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{x}{x - 1})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

خطوة 8.2.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

خطوة 8.2.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.4.1

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

خطوة 8.2.4.2

اجمع $- 1$ و $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

خطوة 8.2.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

خطوة 8.2.4.4

أعِد كتابة $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.4.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

خطوة 8.2.4.4.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

خطوة 8.2.4.4.3

اطرح $x$ من $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

خطوة 8.2.4.4.4

أضف $0$ و $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

خطوة 8.2.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

خطوة 8.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.6.1

أخرِج العامل $x - 1$ من $1 (x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

خطوة 8.2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

خطوة 8.2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = x$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 8.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{x}{x - 1})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

خطوة 8.3.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

خطوة 8.3.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.4.1

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

خطوة 8.3.4.2

اجمع $- 1$ و $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

خطوة 8.3.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

خطوة 8.3.4.4

أعِد كتابة $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.4.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

خطوة 8.3.4.4.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

خطوة 8.3.4.4.3

اطرح $x$ من $x$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

خطوة 8.3.4.4.4

أضف $0$ و $1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

خطوة 8.3.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

خطوة 8.3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.6.1

أخرِج العامل $x - 1$ من $1 (x - 1)$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

خطوة 8.3.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

خطوة 8.3.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{x}{x - 1}) = x$

خطوة 8.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ هي معكوس $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$