حساب المثلثات الأمثلة

$- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - x^{2}}$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = - \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - y^{2}}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - y^{2}} = x$ .

$- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - y^{2}} = x$

خطوة 2.2

اضرب كلا المتعادلين في $- 7$ .

$- 7 (- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - y^{2}}) = - 7 x$

خطوة 2.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- 7 (- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - y^{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$- 7 (- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{4^{2} - y^{2}}) = - 7 x$

خطوة 2.3.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 4$ و $b = y$ .

$- 7 (- \frac{1}{7} \cdot \sqrt{(4 + y) (4 - y)}) = - 7 x$

خطوة 2.3.1.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1

اجمع $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ و $\frac{1}{7}$ .

$- 7 (- \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{7}) = - 7 x$

خطوة 2.3.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{7}$ إلى بسط الكسر.

$- 7 \frac{- \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{7} = - 7 x$

خطوة 2.3.1.3.2.2

أخرِج العامل $7$ من $- 7$ .

$7 (- 1) \frac{- \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{7} = - 7 x$

خطوة 2.3.1.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$7 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{7} = - 7 x$

خطوة 2.3.1.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- - \sqrt{(4 + y) (4 - y)} = - 7 x$

خطوة 2.3.1.3.3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \sqrt{(4 + y) (4 - y)} = - 7 x$

خطوة 2.3.1.3.3.2

اضرب $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ في $1$ .

$\sqrt{(4 + y) (4 - y)} = - 7 x$

خطوة 2.4

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2} = {(- 7 x)}^{2}$

خطوة 2.5

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ في صورة ${((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 7 x)}^{2}$

خطوة 2.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

بسّط ${({((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 7 x)}^{2}$

خطوة 2.5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 7 x)}^{2}$

خطوة 2.5.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${((4 + y) (4 - y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

خطوة 2.5.2.1.2

وسّع $(4 + y) (4 - y)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

${(4 (4 - y) + y (4 - y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

خطوة 2.5.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

${(4 \cdot 4 + 4 (- y) + y (4 - y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

خطوة 2.5.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

${(4 \cdot 4 + 4 (- y) + y \cdot 4 + y (- y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

خطوة 2.5.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.3.1.1

اضرب $4$ في $4$ .

${(16 + 4 (- y) + y \cdot 4 + y (- y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

خطوة 2.5.2.1.3.1.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

${(16 - 4 y + y \cdot 4 + y (- y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

خطوة 2.5.2.1.3.1.3

انقُل $4$ إلى يسار $y$ .

${(16 - 4 y + 4 \cdot y + y (- y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

خطوة 2.5.2.1.3.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

${(16 - 4 y + 4 y - y \cdot y)}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

خطوة 2.5.2.1.3.1.5

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.3.1.5.1

انقُل $y$ .

${(16 - 4 y + 4 y - (y \cdot y))}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

خطوة 2.5.2.1.3.1.5.2

اضرب $y$ في $y$ .

${(16 - 4 y + 4 y - y^{2})}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

خطوة 2.5.2.1.3.2

أضف $- 4 y$ و $4 y$ .

${(16 + 0 - y^{2})}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

خطوة 2.5.2.1.3.3

أضف $16$ و $0$ .

${(16 - y^{2})}^{1} = {(- 7 x)}^{2}$

خطوة 2.5.2.1.4

بسّط.

$16 - y^{2} = {(- 7 x)}^{2}$

خطوة 2.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

بسّط ${(- 7 x)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- 7 x$ .

$16 - y^{2} = {(- 7)}^{2} x^{2}$

خطوة 2.5.3.1.2

ارفع $- 7$ إلى القوة $2$ .

$16 - y^{2} = 49 x^{2}$

خطوة 2.6

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اطرح $16$ من كلا المتعادلين.

$- y^{2} = 49 x^{2} - 16$

خطوة 2.6.2

اقسِم كل حد في $- y^{2} = 49 x^{2} - 16$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

اقسِم كل حد في $- y^{2} = 49 x^{2} - 16$ على $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{49 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16}{- 1}$

خطوة 2.6.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{49 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16}{- 1}$

خطوة 2.6.2.2.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{49 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16}{- 1}$

خطوة 2.6.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{49 x^{2}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot (49 x^{2}) + \frac{- 16}{- 1}$

خطوة 2.6.2.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot (49 x^{2})$ بالصيغة $- (49 x^{2})$ .

$y^{2} = - (49 x^{2}) + \frac{- 16}{- 1}$

خطوة 2.6.2.3.1.3

اضرب $49$ في $- 1$ .

$y^{2} = - 49 x^{2} + \frac{- 16}{- 1}$

خطوة 2.6.2.3.1.4

اقسِم $- 16$ على $- 1$ .

$y^{2} = - 49 x^{2} + 16$

خطوة 2.6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 49 x^{2} + 16}$

خطوة 2.6.4

بسّط $\pm \sqrt{- 49 x^{2} + 16}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 49 x^{2} + 4^{2}}$

خطوة 2.6.4.1.2

أعِد كتابة $49 x^{2}$ بالصيغة ${(7 x)}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- {(7 x)}^{2} + 4^{2}}$

خطوة 2.6.4.1.3

أعِد ترتيب $- {(7 x)}^{2}$ و $4^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{4^{2} - {(7 x)}^{2}}$

خطوة 2.6.4.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 4$ و $b = 7 x$ .

$y = \pm \sqrt{(4 + 7 x) (4 - (7 x))}$

خطوة 2.6.4.3

اضرب $7$ في $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

خطوة 2.6.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

خطوة 2.6.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

خطوة 2.6.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

$y = - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}, - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}, - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$ هي معكوس $f (x) = - \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى $f (x) = - \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - x^{2}}$ و $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}, - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$ وقارن بينهما.

خطوة 4.2

أوجِد مدى $f (x) = - \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[- \frac{4}{7}, 0]$

خطوة 4.3

أوجِد نطاق $\sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$(4 + 7 x) (4 - 7 x) \geq 0$

خطوة 4.3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$4 + 7 x = 0$

$4 - 7 x = 0$

خطوة 4.3.2.2

عيّن قيمة العبارة $4 + 7 x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

عيّن قيمة $4 + 7 x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 + 7 x = 0$

خطوة 4.3.2.2.2

أوجِد قيمة $x$ في $4 + 7 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.2.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$7 x = - 4$

خطوة 4.3.2.2.2.2

اقسِم كل حد في $7 x = - 4$ على $7$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.2.2.1

اقسِم كل حد في $7 x = - 4$ على $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 4}{7}$

خطوة 4.3.2.2.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 4}{7}$

خطوة 4.3.2.2.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 4}{7}$

خطوة 4.3.2.2.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{4}{7}$

خطوة 4.3.2.3

عيّن قيمة العبارة $4 - 7 x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

عيّن قيمة $4 - 7 x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 - 7 x = 0$

خطوة 4.3.2.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $4 - 7 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.2.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$- 7 x = - 4$

خطوة 4.3.2.3.2.2

اقسِم كل حد في $- 7 x = - 4$ على $- 7$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $- 7 x = - 4$ على $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 4}{- 7}$

خطوة 4.3.2.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 4}{- 7}$

خطوة 4.3.2.3.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 7}$

خطوة 4.3.2.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.2.2.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$x = \frac{4}{7}$

خطوة 4.3.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(4 + 7 x) (4 - 7 x) \geq 0$ صحيحة.

$x = - \frac{4}{7}, \frac{4}{7}$

خطوة 4.3.2.5

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - \frac{4}{7}$

$- \frac{4}{7} < x < \frac{4}{7}$

$x > \frac{4}{7}$

خطوة 4.3.2.6

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.6.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - \frac{4}{7}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.6.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - \frac{4}{7}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 3$

خطوة 4.3.2.6.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 3$ في المتباينة الأصلية.

$(4 + 7 (- 3)) (4 - 7 \cdot - 3) \geq 0$

خطوة 4.3.2.6.1.3

الطرف الأيسر $- 425$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 4.3.2.6.2

اختبر قيمة في الفترة $- \frac{4}{7} < x < \frac{4}{7}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.6.2.1

اختر قيمة من الفترة $- \frac{4}{7} < x < \frac{4}{7}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 4.3.2.6.2.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$(4 + 7 (0)) (4 - 7 \cdot 0) \geq 0$

خطوة 4.3.2.6.2.3

الطرف الأيسر $16$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 4.3.2.6.3

اختبر قيمة في الفترة $x > \frac{4}{7}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.6.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > \frac{4}{7}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 3$

خطوة 4.3.2.6.3.2

استبدِل $x$ بـ $3$ في المتباينة الأصلية.

$(4 + 7 (3)) (4 - 7 \cdot 3) \geq 0$

خطوة 4.3.2.6.3.3

الطرف الأيسر $- 425$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 4.3.2.6.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - \frac{4}{7}$ خطأ

$- \frac{4}{7} < x < \frac{4}{7}$ صحيحة

$x > \frac{4}{7}$ خطأ

$x < - \frac{4}{7}$ خطأ

$- \frac{4}{7} < x < \frac{4}{7}$ صحيحة

$x > \frac{4}{7}$ خطأ

خطوة 4.3.2.7

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$- \frac{4}{7} \leq x \leq \frac{4}{7}$

خطوة 4.3.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$[- \frac{4}{7}, \frac{4}{7}]$

خطوة 4.4

بما أن نطاق $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}, - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$ لا يساوي مدى $f (x) = - \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - x^{2}}$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}, - \sqrt{(4 + 7 x) (4 - 7 x)}$ ليست معكوس $f (x) = - \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16 - x^{2}}$ .

لا يوجد معكوس

خطوة 5