حساب المثلثات الأمثلة

$4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = 4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3})$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = x$ .

$4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = x$

خطوة 2.2

اقسِم كل حد في $4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = x$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اقسِم كل حد في $4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = x$ على $4$ .

$\frac{4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3})}{4} = \frac{x}{4}$

خطوة 2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3})}{4} = \frac{x}{4}$

خطوة 2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3})$ على $1$ .

$\cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = \frac{x}{4}$

خطوة 2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل جيب التمام.

$\frac{y}{2} - \frac{π}{3} = \arccos (\frac{x}{4})$

خطوة 2.4

أضف $\frac{π}{3}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{y}{2} = \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3}$

خطوة 2.5

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

خطوة 2.6

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y}{2} = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

خطوة 2.6.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

خطوة 2.6.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

بسّط $2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + 2 \frac{π}{3}$

خطوة 2.6.2.1.2

اجمع $2$ و $\frac{π}{3}$ .

$y = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$

خطوة 2.7

أضف $\frac{π}{3}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{y}{2} = \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3}$

خطوة 2.8

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

خطوة 2.9

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y}{2} = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

خطوة 2.9.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

خطوة 2.9.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.1

بسّط $2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + 2 \frac{π}{3}$

خطوة 2.9.2.1.2

اجمع $2$ و $\frac{π}{3}$ .

$y = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$ هي معكوس $f (x) = 4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3}))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})) = 2 \arccos (\frac{4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})}{4}) + \frac{2 π}{3}$

خطوة 4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})) = 2 \arccos (\frac{4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})}{4}) + \frac{2 π}{3}$

خطوة 4.2.3.2

اقسِم $\cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ على $1$ .

$f^{- 1} (4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})) = 2 \arccos (\cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})) + \frac{2 π}{3}$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}}{2} - \frac{π}{3})$

خطوة 4.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \arccos (\frac{x}{4})$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4})) + \frac{2 π}{3}}{2} - \frac{π}{3})$

خطوة 4.3.3.2

أخرِج العامل $2$ من $\frac{2 π}{3}$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4})) + 2 (\frac{π}{3})}{2} - \frac{π}{3})$

خطوة 4.3.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (\arccos (\frac{x}{4})) + 2 \frac{π}{3}$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})}{2} - \frac{π}{3})$

خطوة 4.3.3.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})}{2 (1)} - \frac{π}{3})$

خطوة 4.3.3.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})}{2 \cdot 1} - \frac{π}{3})$

خطوة 4.3.3.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3}}{1} - \frac{π}{3})$

خطوة 4.3.3.4.4

اقسِم $\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3}$ على $1$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3} - \frac{π}{3})$

خطوة 4.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3} - \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π - π}{3})$

خطوة 4.3.4.2

اطرح $π$ من $π$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{0}{3})$

خطوة 4.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

اقسِم $0$ على $3$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}) + 0)$

خطوة 4.3.5.2

أضف $\arccos (\frac{x}{4})$ و $0$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}))$

خطوة 4.3.6

تُعد دالتا جيب التمام وقوس جيب التمام دالتين متعاكستين.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 (\frac{x}{4})$

خطوة 4.3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 (\frac{x}{4})$

خطوة 4.3.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$ هي معكوس $f (x) = 4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$