حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (θ) - \cos (θ) = \sqrt{2}$

خطوة 1

استخدِم المتطابقة لحل المعادلة. في هذه المتطابقة، تمثل $θ$ الزاوية الناتجة عن تعيين النقطة $(a, b)$ على الرسم البياني، ومن ثمَّ يمكن إيجادها باستخدام $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ حيث $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ و $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

خطوة 2

عيّن المعادلة لإيجاد قيمة $θ$ .

$\tan^{-1} (- \frac{1}{1})$

خطوة 3

خُذ المماس العكسي لإيجاد حل المعادلة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \tan^{-1} (- \frac{1}{1})$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 1)$

خطوة 3.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

خطوة 3.3

القيمة الدقيقة لـ $\tan^{-1} (- 1)$ هي $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

خطوة 4

أوجِد قيمة $R$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$R = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2}}$

خطوة 4.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$R = \sqrt{1 + 1}$

خطوة 4.3

أضف $1$ و $1$ .

$R = \sqrt{2}$

خطوة 5

عوّض بالقيم المعروفة في المعادلة.

$(\sqrt{2}) \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ على $\sqrt{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ على $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $\sin (θ - \frac{π}{4})$ على $1$ .

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 6.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = 1$

خطوة 7

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل الجيب.

$θ - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (1)$

خطوة 8

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin^{-1} (1)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

خطوة 9

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $θ$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أضف $\frac{π}{4}$ إلى كلا المتعادلين.

$θ = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

خطوة 9.2

لكتابة $\frac{π}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

خطوة 9.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

خطوة 9.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 9.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$θ = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

خطوة 9.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$θ = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

خطوة 9.5.2

أضف $2 π$ و $π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

خطوة 10

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$θ - \frac{π}{4} = π - \frac{π}{2}$

خطوة 11

أوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط $π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$θ - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 11.1.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.2.1

اجمع $π$ و $\frac{2}{2}$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 11.1.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 11.1.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.3.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

خطوة 11.1.3.2

اطرح $π$ من $2 π$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

خطوة 11.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $θ$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

أضف $\frac{π}{4}$ إلى كلا المتعادلين.

$θ = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

خطوة 11.2.2

لكتابة $\frac{π}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

خطوة 11.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

خطوة 11.2.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 11.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$θ = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

خطوة 11.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.5.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$θ = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

خطوة 11.2.5.2

أضف $2 π$ و $π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

خطوة 12

أوجِد فترة $\sin (θ - \frac{π}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 12.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 12.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 12.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 13

فترة دالة $\sin (θ - \frac{π}{4})$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = \frac{3 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$