حساب المثلثات الأمثلة

${(y - 2)}^{2} = 3 (x + 1)$

خطوة 1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y - 2 = \pm \sqrt{3 (x + 1)}$

خطوة 2

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y - 2 = \sqrt{3 (x + 1)}$

خطوة 2.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

خطوة 2.3

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y - 2 = - \sqrt{3 (x + 1)}$

خطوة 2.4

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

خطوة 2.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

خطوة 3

بدّل بين المتغيرات. وأنشئ معادلة لكل عبارة.

$x = \sqrt{3 (y + 1)} + 2, x = - \sqrt{3 (y + 1)} + 2$

خطوة 4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sqrt{3 (y + 1)} + 2 = x$ .

$\sqrt{3 (y + 1)} + 2 = x$

خطوة 4.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$\sqrt{3 (y + 1)} = x - 2$

خطوة 4.3

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{3 (y + 1)}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

خطوة 4.4

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3 (y + 1)}$ في صورة ${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

خطوة 4.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

بسّط ${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

خطوة 4.4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

خطوة 4.4.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(3 (y + 1))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

خطوة 4.4.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

${(3 y + 3 \cdot 1)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

خطوة 4.4.2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1.3.1

اضرب $3$ في $1$ .

${(3 y + 3)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

خطوة 4.4.2.1.3.2

بسّط.

$3 y + 3 = {(x - 2)}^{2}$

خطوة 4.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.3.1

بسّط ${(x - 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.3.1.1

أعِد كتابة ${(x - 2)}^{2}$ بالصيغة $(x - 2) (x - 2)$ .

$3 y + 3 = (x - 2) (x - 2)$

خطوة 4.4.3.1.2

وسّع $(x - 2) (x - 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y + 3 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

خطوة 4.4.3.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

خطوة 4.4.3.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.4.3.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.3.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$3 y + 3 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.4.3.1.3.1.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $x$ .

$3 y + 3 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

خطوة 4.4.3.1.3.1.3

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$3 y + 3 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

خطوة 4.4.3.1.3.2

اطرح $2 x$ من $- 2 x$ .

$3 y + 3 = x^{2} - 4 x + 4$

خطوة 4.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$3 y = x^{2} - 4 x + 4 - 3$

خطوة 4.5.1.2

اطرح $3$ من $4$ .

$3 y = x^{2} - 4 x + 1$

خطوة 4.5.2

اقسِم كل حد في $3 y = x^{2} - 4 x + 1$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

اقسِم كل حد في $3 y = x^{2} - 4 x + 1$ على $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

خطوة 4.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

خطوة 4.5.2.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

خطوة 4.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

خطوة 5

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

خطوة 6

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ هي معكوس $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ و $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ وقارن بينهما.

خطوة 6.2

أوجِد مدى $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أوجِد مدى $\sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[2, \infty)$

خطوة 6.2.2

أوجِد مدى $- \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$(- \infty, 2]$

خطوة 6.2.3

أوجِد اتحاد $[2, \infty), (- \infty, 2]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

يتكون الاتحاد من جميع العناصر الموجودة في كل فترة.

$(- \infty, \infty)$

خطوة 6.3

أوجِد نطاق $\sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{3 (x + 1)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$3 (x + 1) \geq 0$

خطوة 6.3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اقسِم كل حد في $3 (x + 1) \geq 0$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

اقسِم كل حد في $3 (x + 1) \geq 0$ على $3$ .

$\frac{3 (x + 1)}{3} \geq \frac{0}{3}$

خطوة 6.3.2.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (x + 1)}{3} \geq \frac{0}{3}$

خطوة 6.3.2.1.2.1.2

اقسِم $x + 1$ على $1$ .

$x + 1 \geq \frac{0}{3}$

خطوة 6.3.2.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.3.1

اقسِم $0$ على $3$ .

$x + 1 \geq 0$

خطوة 6.3.2.2

اطرح $1$ من كلا طرفي المتباينة.

$x \geq - 1$

خطوة 6.3.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$[- 1, \infty)$

خطوة 6.4

بما أن نطاق $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ هو مدى $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ ومدى $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ هو نطاق $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ هي معكوس $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

خطوة 7