حساب المثلثات الأمثلة

$\cos (\arcsin (7 x))$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \cos (\arcsin (7 y))$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\cos (\arcsin (7 y)) = x$ .

$\cos (\arcsin (7 y)) = x$

خطوة 2.2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $\arcsin (7 y)$ من داخل جيب التمام.

$\arcsin (7 y) = \arccos (x)$

خطوة 2.3

خُذ دالة قوس الجيب العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الجيب.

$7 y = \sin (\arccos (x))$

خطوة 2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بسّط $\sin (\arccos (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1

اكتب العبارة باستخدام الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1.1

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ و $(x, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\arccos (x)$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . إذن، $\sin (\arccos (x))$ تساوي $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$7 y = \sqrt{1 - x^{2}}$

خطوة 2.4.1.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$7 y = \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

خطوة 2.4.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = x$ .

$7 y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

خطوة 2.5

اقسِم كل حد في $7 y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ على $7$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اقسِم كل حد في $7 y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ على $7$ .

$\frac{7 y}{7} = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

خطوة 2.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{7 y}{7} = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

خطوة 2.5.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ هي معكوس $f (x) = \cos (\arcsin (7 x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x)))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \cos (\arcsin (7 x))) (1 - (\cos (\arcsin (7 x))))}}{7}$

خطوة 4.2.3

احذِف الأقواس.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \cos (\arcsin (7 x))) (1 - (\cos (\arcsin (7 x))))}}{7}$

خطوة 4.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(\sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}, 7 x)$ و $(\sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\arcsin (7 x)$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(\sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}, 7 x)$ . إذن، $\cos (\arcsin (7 x))$ تساوي $\sqrt{1 - {(7 x)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{1 - {(7 x)}^{2}}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

خطوة 4.2.4.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

خطوة 4.2.4.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = 7 x$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - (7 x))}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

خطوة 4.2.4.4

اضرب $7$ في $- 1$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

خطوة 4.2.4.5

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{1 - {(7 x)}^{2}})}}{7}$

خطوة 4.2.4.6

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}})}}{7}$

خطوة 4.2.4.7

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{(1 + 7 x) (1 - (7 x))})}}{7}$

خطوة 4.2.4.8

اضرب $7$ في $- 1$ .

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)})}}{7}$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \cos (\arcsin (7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})))$

خطوة 4.3.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(\sqrt{1^{2} - {(7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))}^{2}}, 7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))$ و $(\sqrt{1^{2} - {(7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))}^{2}}, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\arcsin (7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(\sqrt{1^{2} - {(7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))}^{2}}, 7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))$ . إذن، $\cos (\arcsin (7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})))$ تساوي $\sqrt{1 - {(\frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}^{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{1 - {(\frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}^{2}}$

خطوة 4.3.3.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{1^{2} - {(\frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}^{2}}$

خطوة 4.3.4

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

خطوة 4.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(\frac{7}{7} + \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

خطوة 4.3.5.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

خطوة 4.3.5.3

أعِد كتابة $\frac{7 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.3.1

أخرِج العامل $7$ من $7 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.3.1.1

أخرِج العامل $7$ من $7$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 \cdot 1 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

خطوة 4.3.5.3.1.2

أخرِج العامل $7$ من $7 \cdot 1 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 (1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

خطوة 4.3.5.3.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.3.2.1

اختزِل العبارة $\frac{7 (1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{7}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 (1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

خطوة 4.3.5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

خطوة 4.3.5.3.2.2

اقسِم $1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ على $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

خطوة 4.3.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

خطوة 4.3.5.4.2

اقسِم $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ على $1$ .

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ هي معكوس $f (x) = \cos (\arcsin (7 x))$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$