حساب المثلثات الأمثلة

$\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \cot (\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}}))$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\cot (\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})) = x$ .

$\cot (\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})) = x$

خطوة 2.2

خُذ ظل التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})$ من داخل ظل التمام.

$\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}}) = arccot (x)$

خطوة 2.3

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$\frac{y}{\sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

خطوة 2.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بسّط $\frac{y}{\sqrt{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1

اضرب $\frac{y}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{y}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

خطوة 2.4.1.2

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.2.1

اضرب $\frac{y}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

خطوة 2.4.1.2.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

خطوة 2.4.1.2.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} = \tan (arccot (x))$

خطوة 2.4.1.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} = \tan (arccot (x))$

خطوة 2.4.1.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} = \tan (arccot (x))$

خطوة 2.4.1.2.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.2.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \tan (arccot (x))$

خطوة 2.4.1.2.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = \tan (arccot (x))$

خطوة 2.4.1.2.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

خطوة 2.4.1.2.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.2.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

خطوة 2.4.1.2.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{1}} = \tan (arccot (x))$

خطوة 2.4.1.2.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{y \sqrt{3}}{3} = \tan (arccot (x))$

خطوة 2.5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(x, 1)$ و $(x, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $arccot (x)$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(x, 1)$ . إذن، $\tan (arccot (x))$ تساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{3} = \frac{1}{x}$

خطوة 2.6

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{3}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{y \sqrt{3}}{3} = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 2.7

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.1

بسّط $\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{y \sqrt{3}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{y \sqrt{3}}{3} = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 2.7.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sqrt{3}} (y \sqrt{3}) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 2.7.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.1.2.1

أخرِج العامل $\sqrt{3}$ من $y \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} (\sqrt{3} y) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 2.7.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{3}} (\sqrt{3} y) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 2.7.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 2.7.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1

بسّط $\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1.1

اضرب $\frac{3}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \frac{1}{x}$

خطوة 2.7.2.1.2

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1.2.1

اضرب $\frac{3}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 2.7.2.1.2.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 2.7.2.1.2.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 2.7.2.1.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 2.7.2.1.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 2.7.2.1.2.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1.2.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 2.7.2.1.2.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 2.7.2.1.2.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 2.7.2.1.2.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1.2.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 2.7.2.1.2.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{1}} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 2.7.2.1.2.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 2.7.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 2.7.2.1.3.2

اقسِم $\sqrt{3}$ على $1$ .

$y = \sqrt{3} \frac{1}{x}$

خطوة 2.7.2.1.4

اجمع $\sqrt{3}$ و $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{x}$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$ هي معكوس $f (x) = \cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}})))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$

خطوة 4.2.3

افصِل الكسور.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{1}{\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$

خطوة 4.2.4

أعِد كتابة $\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}}$

خطوة 4.2.5

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$ .

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$

خطوة 4.2.6

حوّل من $\frac{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$ إلى $\tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ .

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$

خطوة 4.2.7

اقسِم $\sqrt{3}$ على $1$ .

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \sqrt{3} \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$

خطوة 4.2.8

تُعد دالتا المماس وقوس الظل دالتين متعاكستين.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

خطوة 4.2.9

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

خطوة 4.2.9.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{\sqrt{3}}{x})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \cot (\arctan (\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}))$

خطوة 4.3.3

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(1, \frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}})$ و $(1, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\arctan (\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}})$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(1, \frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}})$ . إذن، $\cot (\arctan (\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}))$ تساوي $\frac{1}{\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \frac{1}{\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}}$

خطوة 4.3.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = 1 (\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x}})$

خطوة 4.3.5

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x}}$ في $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x}}$

خطوة 4.3.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

خطوة 4.3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

خطوة 4.3.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$ هي معكوس $f (x) = \cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$