حساب المثلثات الأمثلة

$f (x) = \frac{4}{x - 2} + 1$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \frac{4}{x - 2} + 1$ في صورة معادلة.

$y = \frac{4}{x - 2} + 1$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{4}{y - 2} + 1$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{4}{y - 2} + 1 = x$ .

$\frac{4}{y - 2} + 1 = x$

خطوة 3.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\frac{4}{y - 2} = x - 1$

خطوة 3.3

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$y - 2, 1, 1$

خطوة 3.3.2

احذِف الأقواس.

$y - 2, 1, 1$

خطوة 3.3.3

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$y - 2$

خطوة 3.4

اضرب كل حد في $\frac{4}{y - 2} = x - 1$ في $y - 2$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اضرب كل حد في $\frac{4}{y - 2} = x - 1$ في $y - 2$ .

$\frac{4}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2) - (y - 2)$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2) - (y - 2)$

خطوة 3.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 = x (y - 2) - (y - 2)$

خطوة 3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 = x y + x \cdot - 2 - (y - 2)$

خطوة 3.4.3.1.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $x$ .

$4 = x y - 2 \cdot x - (y - 2)$

خطوة 3.4.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$4 = x y - 2 x - y - - 2$

خطوة 3.4.3.1.4

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$4 = x y - 2 x - y + 2$

خطوة 3.5

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x y - 2 x - y + 2 = 4$ .

$x y - 2 x - y + 2 = 4$

خطوة 3.5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أضف $2 x$ إلى كلا المتعادلين.

$x y - y + 2 = 4 + 2 x$

خطوة 3.5.2.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x y - y = 4 + 2 x - 2$

خطوة 3.5.2.3

اطرح $2$ من $4$ .

$x y - y = 2 x + 2$

خطوة 3.5.3

أخرِج العامل $y$ من $x y - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$y x - y = 2 x + 2$

خطوة 3.5.3.2

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$y x + y \cdot - 1 = 2 x + 2$

خطوة 3.5.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y x + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 2 x + 2$

خطوة 3.5.4

اقسِم كل حد في $y (x - 1) = 2 x + 2$ على $x - 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

اقسِم كل حد في $y (x - 1) = 2 x + 2$ على $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2 x}{x - 1} + \frac{2}{x - 1}$

خطوة 3.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2 x}{x - 1} + \frac{2}{x - 1}$

خطوة 3.5.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{2 x}{x - 1} + \frac{2}{x - 1}$

خطوة 3.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{2 x + 2}{x - 1}$

خطوة 3.5.4.3.2

أخرِج العامل $2$ من $2 x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$y = \frac{2 (x) + 2}{x - 1}$

خطوة 3.5.4.3.2.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$y = \frac{2 (x) + 2 (1)}{x - 1}$

خطوة 3.5.4.3.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (x) + 2 (1)$ .

$y = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$

خطوة 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ هي معكوس $f (x) = \frac{4}{x - 2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1)$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 ((\frac{4}{x - 2} + 1) + 1)}{(\frac{4}{x - 2} + 1) - 1}$

خطوة 5.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{4}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2} + 1)}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

خطوة 5.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{4 + x - 2}{x - 2} + 1)}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

خطوة 5.2.3.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{4 + x - 2}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

خطوة 5.2.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{4 + x - 2 + x - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

خطوة 5.2.3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{x + x + 4 - 2 - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

خطوة 5.2.3.6

أعِد كتابة $\frac{x + x + 4 - 2 - 2}{x - 2}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.6.1

أضف $x$ و $x$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x + 4 - 2 - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

خطوة 5.2.3.6.2

اطرح $2$ من $4$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x + 2 - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

خطوة 5.2.3.6.3

اطرح $2$ من $2$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x + 0}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

خطوة 5.2.3.6.4

أضف $2 x$ و $0$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

خطوة 5.2.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2} - 1}$

خطوة 5.2.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 + x - 2}{x - 2} - 1}$

خطوة 5.2.4.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 + x - 2}{x - 2} - 1 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

خطوة 5.2.4.4

اجمع $- 1$ و $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 + x - 2}{x - 2} + \frac{- (x - 2)}{x - 2}}$

خطوة 5.2.4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 + x - 2 - (x - 2)}{x - 2}}$

خطوة 5.2.4.6

أعِد ترتيب الحدود.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{x + 4 - 2 - (x - 2)}{x - 2}}$

خطوة 5.2.4.7

أعِد كتابة $\frac{x + 4 - 2 - (x - 2)}{x - 2}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{x + 4 - 2 - x + 2}{x - 2}}$

خطوة 5.2.4.7.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{x + 4 - 2 - x + 2}{x - 2}}$

خطوة 5.2.4.7.3

اطرح $x$ من $x$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{0 + 4 - 2 + 2}{x - 2}}$

خطوة 5.2.4.7.4

أضف $0$ و $4$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 - 2 + 2}{x - 2}}$

خطوة 5.2.4.7.5

اطرح $2$ من $4$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{2 + 2}{x - 2}}$

خطوة 5.2.4.7.6

أضف $2$ و $2$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2}}$

خطوة 5.2.5

اجمع $2$ و $\frac{2 x}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{\frac{2 (2 x)}{x - 2}}{\frac{4}{x - 2}}$

خطوة 5.2.6

اضرب $2$ في $2$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{\frac{4 x}{x - 2}}{\frac{4}{x - 2}}$

خطوة 5.2.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{4 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{4}$

خطوة 5.2.8

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.8.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{4 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{4}$

خطوة 5.2.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{4 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{4}$

خطوة 5.2.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

خطوة 5.2.9

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

خطوة 5.2.9.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{4}{(\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) - 2} + 1$

خطوة 5.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $(\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 (2)}{(\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) - 2} + 1$

خطوة 5.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $\frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 (2)}{2 (\frac{x + 1}{x - 1}) - 2} + 1$

خطوة 5.3.3.1.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 \cdot 2}{2 (\frac{x + 1}{x - 1}) + 2 \cdot - 1} + 1$

خطوة 5.3.3.1.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 \frac{x + 1}{x - 1} + 2 (- 1)$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 (2)}{2 (\frac{x + 1}{x - 1} - 1)} + 1$

خطوة 5.3.3.1.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 \cdot 2}{2 (\frac{x + 1}{x - 1} - 1)} + 1$

خطوة 5.3.3.1.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1} + 1$

خطوة 5.3.3.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}} + 1$

خطوة 5.3.3.2.2

اجمع $- 1$ و $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}} + 1$

خطوة 5.3.3.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x - 1}} + 1$

خطوة 5.3.3.2.4

أعِد كتابة $\frac{x + 1 - (x - 1)}{x - 1}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - x + 1}{x - 1}} + 1$

خطوة 5.3.3.2.4.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - x + 1}{x - 1}} + 1$

خطوة 5.3.3.2.4.3

اطرح $x$ من $x$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{0 + 1 + 1}{x - 1}} + 1$

خطوة 5.3.3.2.4.4

أضف $0$ و $1$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{1 + 1}{x - 1}} + 1$

خطوة 5.3.3.2.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{2}{x - 1}} + 1$

خطوة 5.3.3.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

خطوة 5.3.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

خطوة 5.3.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = x - 1 + 1$

خطوة 5.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 1 + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = x + 0$

خطوة 5.3.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ هي معكوس $f (x) = \frac{4}{x - 2} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$