حساب المثلثات الأمثلة

$f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ في صورة معادلة.

$y = - \sqrt{49 - x^{2}}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = - \sqrt{49 - y^{2}}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \sqrt{49 - y^{2}} = x$ .

$- \sqrt{49 - y^{2}} = x$

خطوة 3.2

اقسِم كل حد في $- \sqrt{49 - y^{2}} = x$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اقسِم كل حد في $- \sqrt{49 - y^{2}} = x$ على $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{49 - y^{2}}}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\sqrt{49 - y^{2}}}{1} = \frac{x}{- 1}$

خطوة 3.2.2.1.2

اكتب العبارة باستخدام الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.2.1

اقسِم $\sqrt{49 - y^{2}}$ على $1$ .

$\sqrt{49 - y^{2}} = \frac{x}{- 1}$

خطوة 3.2.2.1.2.2

أعِد كتابة $49$ بالصيغة $7^{2}$ .

$\sqrt{7^{2} - y^{2}} = \frac{x}{- 1}$

خطوة 3.2.2.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 7$ و $b = y$ .

$\sqrt{(7 + y) (7 - y)} = \frac{x}{- 1}$

خطوة 3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{x}{- 1}$ .

$\sqrt{(7 + y) (7 - y)} = - 1 \cdot x$

خطوة 3.2.3.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot x$ بالصيغة $- x$ .

$\sqrt{(7 + y) (7 - y)} = - x$

خطوة 3.3

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{(7 + y) (7 - y)}}^{2} = {(- x)}^{2}$

خطوة 3.4

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{(7 + y) (7 - y)}$ في صورة ${((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط ${({((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${((7 + y) (7 - y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.2

وسّع $(7 + y) (7 - y)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

${(7 (7 - y) + y (7 - y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

${(7 \cdot 7 + 7 (- y) + y (7 - y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

${(7 \cdot 7 + 7 (- y) + y \cdot 7 + y (- y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.3.1.1

اضرب $7$ في $7$ .

${(49 + 7 (- y) + y \cdot 7 + y (- y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.3.1.2

اضرب $- 1$ في $7$ .

${(49 - 7 y + y \cdot 7 + y (- y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.3.1.3

انقُل $7$ إلى يسار $y$ .

${(49 - 7 y + 7 \cdot y + y (- y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.3.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

${(49 - 7 y + 7 y - y \cdot y)}^{1} = {(- x)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.3.1.5

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.3.1.5.1

انقُل $y$ .

${(49 - 7 y + 7 y - (y \cdot y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.3.1.5.2

اضرب $y$ في $y$ .

${(49 - 7 y + 7 y - y^{2})}^{1} = {(- x)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.3.2

أضف $- 7 y$ و $7 y$ .

${(49 + 0 - y^{2})}^{1} = {(- x)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.3.3

أضف $49$ و $0$ .

${(49 - y^{2})}^{1} = {(- x)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.4

بسّط.

$49 - y^{2} = {(- x)}^{2}$

خطوة 3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

بسّط ${(- x)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- x$ .

$49 - y^{2} = {(- 1)}^{2} x^{2}$

خطوة 3.4.3.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$49 - y^{2} = 1 x^{2}$

خطوة 3.4.3.1.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$49 - y^{2} = x^{2}$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اطرح $49$ من كلا المتعادلين.

$- y^{2} = x^{2} - 49$

خطوة 3.5.2

اقسِم كل حد في $- y^{2} = x^{2} - 49$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اقسِم كل حد في $- y^{2} = x^{2} - 49$ على $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 49}{- 1}$

خطوة 3.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 49}{- 1}$

خطوة 3.5.2.2.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 49}{- 1}$

خطوة 3.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 49}{- 1}$

خطوة 3.5.2.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$y^{2} = - x^{2} + \frac{- 49}{- 1}$

خطوة 3.5.2.3.1.3

اقسِم $- 49$ على $- 1$ .

$y^{2} = - x^{2} + 49$

خطوة 3.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 49}$

خطوة 3.5.4

بسّط $\pm \sqrt{- x^{2} + 49}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1.1

أعِد كتابة $49$ بالصيغة $7^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 7^{2}}$

خطوة 3.5.4.1.2

أعِد ترتيب $- x^{2}$ و $7^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{7^{2} - x^{2}}$

خطوة 3.5.4.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 7$ و $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

خطوة 3.5.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

خطوة 3.5.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

خطوة 3.5.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

خطوة 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}, - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}, - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ هي معكوس $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ و $f^{- 1} (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}, - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ وقارن بينهما.

خطوة 5.2

أوجِد مدى $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[- 7, 0]$

خطوة 5.3

أوجِد نطاق $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$(7 + x) (7 - x) \geq 0$

خطوة 5.3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$7 + x = 0$

$7 - x = 0$

خطوة 5.3.2.2

عيّن قيمة العبارة $7 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

عيّن قيمة $7 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$7 + x = 0$

خطوة 5.3.2.2.2

اطرح $7$ من كلا المتعادلين.

$x = - 7$

خطوة 5.3.2.3

عيّن قيمة العبارة $7 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

عيّن قيمة $7 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$7 - x = 0$

خطوة 5.3.2.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $7 - x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.2.1

اطرح $7$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 7$

خطوة 5.3.2.3.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 7$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 7$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

خطوة 5.3.2.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

خطوة 5.3.2.3.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

خطوة 5.3.2.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.2.2.3.1

اقسِم $- 7$ على $- 1$ .

$x = 7$

خطوة 5.3.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(7 + x) (7 - x) \geq 0$ صحيحة.

$x = - 7, 7$

خطوة 5.3.2.5

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 7$

$- 7 < x < 7$

$x > 7$

خطوة 5.3.2.6

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 7$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 7$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 10$

خطوة 5.3.2.6.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 10$ في المتباينة الأصلية.

$(7 - 10) (7 - (- 10)) \geq 0$

خطوة 5.3.2.6.1.3

الطرف الأيسر $- 51$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 5.3.2.6.2

اختبر قيمة في الفترة $- 7 < x < 7$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 7 < x < 7$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 5.3.2.6.2.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$(7 + 0) (7 - (0)) \geq 0$

خطوة 5.3.2.6.2.3

الطرف الأيسر $49$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 5.3.2.6.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 7$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 7$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 10$

خطوة 5.3.2.6.3.2

استبدِل $x$ بـ $10$ في المتباينة الأصلية.

$(7 + 10) (7 - (10)) \geq 0$

خطوة 5.3.2.6.3.3

الطرف الأيسر $- 51$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 5.3.2.6.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 7$ خطأ

$- 7 < x < 7$ صحيحة

$x > 7$ خطأ

$x < - 7$ خطأ

$- 7 < x < 7$ صحيحة

$x > 7$ خطأ

خطوة 5.3.2.7

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$- 7 \leq x \leq 7$

خطوة 5.3.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$[- 7, 7]$

خطوة 5.4

بما أن نطاق $f^{- 1} (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}, - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ لا يساوي مدى $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}, - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ ليست معكوس $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ .

لا يوجد معكوس

خطوة 6