حساب المثلثات الأمثلة

$f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ في صورة معادلة.

$y = \sqrt{4 x^{2} + 3}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \sqrt{4 y^{2} + 3}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sqrt{4 y^{2} + 3} = x$ .

$\sqrt{4 y^{2} + 3} = x$

خطوة 3.2

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{4 y^{2} + 3}}^{2} = x^{2}$

خطوة 3.3

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{4 y^{2} + 3}$ في صورة ${(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط ${({(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(4 y^{2} + 3)}^{1} = x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.2

بسّط.

$4 y^{2} + 3 = x^{2}$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$4 y^{2} = x^{2} - 3$

خطوة 3.4.2

اقسِم كل حد في $4 y^{2} = x^{2} - 3$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اقسِم كل حد في $4 y^{2} = x^{2} - 3$ على $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3}{4}$

خطوة 3.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3}{4}$

خطوة 3.4.2.2.1.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3}{4}$

خطوة 3.4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3}{4}$

خطوة 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3}{4}}$

خطوة 3.4.4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3}{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 3}{4}}$

خطوة 3.4.4.2

أعِد كتابة $\frac{x^{2} - 3}{4}$ بالصيغة ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $x^{2} - 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 3)}{4}}$

خطوة 3.4.4.2.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 3)}{2^{2} \cdot 1}}$

خطوة 3.4.4.2.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (x^{2} - 3)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 3)}$

خطوة 3.4.4.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} - 3}$

خطوة 3.4.4.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sqrt{x^{2} - 3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

خطوة 3.4.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

خطوة 3.4.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

خطوة 3.4.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

خطوة 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ هي معكوس $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ و $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ وقارن بينهما.

خطوة 5.2

أوجِد مدى $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[\sqrt{3}, \infty)$

خطوة 5.3

أوجِد نطاق $\frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x^{2} - 3}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x^{2} - 3 \geq 0$

خطوة 5.3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أضِف $3$ إلى كلا طرفي المتباينة.

$x^{2} \geq 3$

خطوة 5.3.2.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{3}$

خطوة 5.3.2.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| x | \geq \sqrt{3}$

خطوة 5.3.2.4

اكتب $| x | \geq \sqrt{3}$ في صورة دالة قطع متتابعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.4.1

لإيجاد الفترة للجزء الأول، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة غير سالبة.

$x \geq 0$

خطوة 5.3.2.4.2

في الجزء الذي يكون فيه $x$ غير سالب، احذف القيمة المطلقة.

$x \geq \sqrt{3}$

خطوة 5.3.2.4.3

لإيجاد الفترة للجزء الثاني، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة سالبة.

$x < 0$

خطوة 5.3.2.4.4

في الجزء الذي يكون فيه $x$ سالبًا، احذف القيمة المطلقة واضرب في $- 1$ .

$- x \geq \sqrt{3}$

خطوة 5.3.2.4.5

اكتب في صورة دالة قطع متتابعة.

${\begin{cases} x \geq \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \geq \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

خطوة 5.3.2.5

أوجِد التقاطع بين $x \geq \sqrt{3}$ و $x \geq 0$ .

$x \geq \sqrt{3}$

خطوة 5.3.2.6

اقسِم كل حد في $- x \geq \sqrt{3}$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.1

اقسِم كل حد في $- x \geq \sqrt{3}$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

خطوة 5.3.2.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

خطوة 5.3.2.6.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

خطوة 5.3.2.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.3.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \sqrt{3}$

خطوة 5.3.2.6.3.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \sqrt{3}$ بالصيغة $- \sqrt{3}$ .

$x \leq - \sqrt{3}$

خطوة 5.3.2.7

أوجِد اتحاد الحلول.

$x \leq - \sqrt{3}$ أو $x \geq \sqrt{3}$

خطوة 5.3.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$

خطوة 5.4

بما أن نطاق $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ لا يساوي مدى $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ ليست معكوس $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ .

لا يوجد معكوس

خطوة 6