حساب المثلثات الأمثلة

$f (x) = \log_{5} (x + 1)$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \log_{5} (x + 1)$ في صورة معادلة.

$y = \log_{5} (x + 1)$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \log_{5} (y + 1)$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\log_{5} (y + 1) = x$ .

$\log_{5} (y + 1) = x$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\log_{5} (y + 1) = x$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$5^{x} = y + 1$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y + 1 = 5^{x}$ .

$y + 1 = 5^{x}$

خطوة 3.3.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y = 5^{x} - 1$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = 5^{x} - 1$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = 5^{x} - 1$ هي معكوس $f (x) = \log_{5} (x + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\log_{5} (x + 1))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (x + 1)) = 5^{\log_{5} (x + 1)} - 1$

خطوة 5.2.3

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f^{- 1} (\log_{5} (x + 1)) = x + 1 - 1$

خطوة 5.2.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + 1 - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (x + 1)) = x + 0$

خطوة 5.2.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (x + 1)) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (5^{x} - 1)$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (5^{x} - 1) = \log_{5} ((5^{x} - 1) + 1)$

خطوة 5.3.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $(5^{x} - 1) + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f (5^{x} - 1) = \log_{5} (5^{x} + 0)$

خطوة 5.3.3.2

أضف $5^{x}$ و $0$ .

$f (5^{x} - 1) = \log_{5} (5^{x})$

خطوة 5.3.4

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $x$ خارج الأُس.

$f (5^{x} - 1) = x \log_{5} (5)$

خطوة 5.3.5

أساس اللوغاريتم $5$ لـ $5$ هو $1$ .

$f (5^{x} - 1) = x \cdot 1$

خطوة 5.3.6

اضرب $x$ في $1$ .

$f (5^{x} - 1) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = 5^{x} - 1$ هي معكوس $f (x) = \log_{5} (x + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = 5^{x} - 1$