حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (\frac{π}{2} - x)$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \sin (\frac{π}{2} - y)$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sin (\frac{π}{2} - y) = x$ .

$\sin (\frac{π}{2} - y) = x$

خطوة 2.2

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل الجيب.

$\frac{π}{2} - y = \arcsin (x)$

خطوة 2.3

اطرح $\frac{π}{2}$ من كلا المتعادلين.

$- y = \arcsin (x) - \frac{π}{2}$

خطوة 2.4

اقسِم كل حد في $- y = \arcsin (x) - \frac{π}{2}$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اقسِم كل حد في $- y = \arcsin (x) - \frac{π}{2}$ على $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\arcsin (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

خطوة 2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y}{1} = \frac{\arcsin (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

خطوة 2.4.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\arcsin (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

خطوة 2.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\arcsin (x)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \arcsin (x) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

خطوة 2.4.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \arcsin (x)$ بالصيغة $- \arcsin (x)$ .

$y = - \arcsin (x) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

خطوة 2.4.3.1.3

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$y = - \arcsin (x) + \frac{\frac{π}{2}}{1}$

خطوة 2.4.3.1.4

اقسِم $\frac{π}{2}$ على $1$ .

$y = - \arcsin (x) + \frac{π}{2}$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \arcsin (x) + \frac{π}{2}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = - \arcsin (x) + \frac{π}{2}$ هي معكوس $f (x) = \sin (\frac{π}{2} - x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\sin (\frac{π}{2} - x))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sin (\frac{π}{2} - x)) = - \arcsin (\sin (\frac{π}{2} - x)) + \frac{π}{2}$

خطوة 4.2.3

أعِد ترتيب $\frac{π}{2}$ و $- x$ .

$f^{- 1} (\sin (\frac{π}{2} - x)) = - \arcsin (\sin (- x + \frac{π}{2})) + \frac{π}{2}$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} - (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}))$

خطوة 4.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} + \arcsin (x) - \frac{π}{2})$

خطوة 4.3.3.2

اضرب $- - \arcsin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} + 1 \arcsin (x) - \frac{π}{2})$

خطوة 4.3.3.2.2

اضرب $\arcsin (x)$ في $1$ .

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} + \arcsin (x) - \frac{π}{2})$

خطوة 4.3.4

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $\frac{π}{2} + \arcsin (x) - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{π - π}{2} + \arcsin (x))$

خطوة 4.3.4.1.2

اطرح $π$ من $π$ .

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{0}{2} + \arcsin (x))$

خطوة 4.3.4.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (0 + \arcsin (x))$

خطوة 4.3.4.2.2

أضف $0$ و $\arcsin (x)$ .

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\arcsin (x))$

خطوة 4.3.5

تُعد دالتا الجيب وقوس الجيب دالتين متعاكستين.

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = - \arcsin (x) + \frac{π}{2}$ هي معكوس $f (x) = \sin (\frac{π}{2} - x)$ .

$f^{- 1} (x) = - \arcsin (x) + \frac{π}{2}$