حساب المثلثات الأمثلة

$k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$

خطوة 1

اكتب $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ في صورة معادلة.

$y = \sqrt{2 x^{2} + 5}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \sqrt{2 y^{2} + 5}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sqrt{2 y^{2} + 5} = x$ .

$\sqrt{2 y^{2} + 5} = x$

خطوة 3.2

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{2 y^{2} + 5}}^{2} = x^{2}$

خطوة 3.3

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 y^{2} + 5}$ في صورة ${(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط ${({(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(2 y^{2} + 5)}^{1} = x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.2

بسّط.

$2 y^{2} + 5 = x^{2}$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$2 y^{2} = x^{2} - 5$

خطوة 3.4.2

اقسِم كل حد في $2 y^{2} = x^{2} - 5$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اقسِم كل حد في $2 y^{2} = x^{2} - 5$ على $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 5}{2}$

خطوة 3.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 5}{2}$

خطوة 3.4.2.2.1.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 5}{2}$

خطوة 3.4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} - \frac{5}{2}$

خطوة 3.4.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - \frac{5}{2}}$

خطوة 3.4.4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - \frac{5}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 5}{2}}$

خطوة 3.4.4.2

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{x^{2} - 5}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$

خطوة 3.4.4.3

اضرب $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 3.4.4.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.4.1

اضرب $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 3.4.4.4.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

خطوة 3.4.4.4.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

خطوة 3.4.4.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.4.4.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 3.4.4.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.4.4.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.4.4.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.4.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.4.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

خطوة 3.4.4.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.4.4.5

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} - 5) \cdot 2}}{2}$

خطوة 3.4.4.6

أعِد ترتيب العوامل في $\pm \frac{\sqrt{(x^{2} - 5) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

خطوة 3.4.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

خطوة 3.4.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

خطوة 3.4.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $k^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ هي معكوس $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ و $k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ وقارن بينهما.

خطوة 5.2

أوجِد مدى $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[\sqrt{5}, \infty)$

خطوة 5.3

Find the domain of the inverse.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أوجِد نطاق $\frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{2 (x^{2} - 5)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$2 (x^{2} - 5) \geq 0$

خطوة 5.3.1.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.1

بسّط $2 (x^{2} - 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{2} + 2 \cdot - 5 \geq 0$

خطوة 5.3.1.2.1.2

اضرب $2$ في $- 5$ .

$2 x^{2} - 10 \geq 0$

خطوة 5.3.1.2.2

مثّل كل متعادل بيانيًا. الحل هو قيمة x لنقطة التقاطع.

$x = - \sqrt{5}, \sqrt{5}$

خطوة 5.3.1.2.3

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - \sqrt{5}$

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$

$x > \sqrt{5}$

خطوة 5.3.1.2.4

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.4.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - \sqrt{5}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.4.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - \sqrt{5}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 5$

خطوة 5.3.1.2.4.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 5$ في المتباينة الأصلية.

$2 ({(- 5)}^{2} - 5) \geq 0$

خطوة 5.3.1.2.4.1.3

الطرف الأيسر $40$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 5.3.1.2.4.2

اختبر قيمة في الفترة $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.4.2.1

اختر قيمة من الفترة $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 5.3.1.2.4.2.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$2 ({(0)}^{2} - 5) \geq 0$

خطوة 5.3.1.2.4.2.3

الطرف الأيسر $- 10$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 5.3.1.2.4.3

اختبر قيمة في الفترة $x > \sqrt{5}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.4.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > \sqrt{5}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 5$

خطوة 5.3.1.2.4.3.2

استبدِل $x$ بـ $5$ في المتباينة الأصلية.

$2 ({(5)}^{2} - 5) \geq 0$

خطوة 5.3.1.2.4.3.3

الطرف الأيسر $40$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 5.3.1.2.4.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - \sqrt{5}$ صحيحة

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ خطأ

$x > \sqrt{5}$ صحيحة

$x < - \sqrt{5}$ صحيحة

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ خطأ

$x > \sqrt{5}$ صحيحة

خطوة 5.3.1.2.5

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x \leq - \sqrt{5}$ أو $x \geq \sqrt{5}$

خطوة 5.3.1.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$

خطوة 5.3.2

أوجِد اتحاد $(- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty), (- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

يتكون الاتحاد من جميع العناصر الموجودة في كل فترة.

$(- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$

خطوة 5.4

بما أن نطاق $k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ لا يساوي مدى $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ ، إذن $k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ ليست معكوس $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ .

لا يوجد معكوس

خطوة 6