حساب المثلثات الأمثلة

$\sec (\arctan (\frac{x}{3}))$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \sec (\arctan (\frac{y}{3}))$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sec (\arctan (\frac{y}{3})) = x$ .

$\sec (\arctan (\frac{y}{3})) = x$

خطوة 2.2

خُذ دالة القاطع العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $\arctan (\frac{y}{3})$ من داخل القاطع.

$\arctan (\frac{y}{3}) = arcsec (x)$

خطوة 2.3

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$\frac{y}{3} = \tan (arcsec (x))$

خطوة 2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بسّط $\tan (arcsec (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1

اكتب العبارة باستخدام الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1.1

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(1, \sqrt{x^{2} - 1^{2}})$ و $(1, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $arcsec (x)$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(1, \sqrt{x^{2} - 1^{2}})$ . إذن، $\tan (arcsec (x))$ تساوي $\sqrt{x^{2} - 1}$ .

$\frac{y}{3} = \sqrt{x^{2} - 1}$

خطوة 2.4.1.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{y}{3} = \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

خطوة 2.4.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{y}{3} = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 2.5

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 \frac{y}{3} = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 2.6

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{y}{3} = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 2.6.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ هي معكوس $f (x) = \sec (\arctan (\frac{x}{3}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3})))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{((\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) + 1) ((\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) - 1)}$

خطوة 4.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(1, \frac{x}{3})$ و $(1, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\arctan (\frac{x}{3})$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(1, \frac{x}{3})$ . إذن، $\sec (\arctan (\frac{x}{3}))$ تساوي $\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

خطوة 4.2.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{3^{2}}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

خطوة 4.2.3.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

خطوة 4.2.3.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{9}{9} + \frac{x^{2}}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

خطوة 4.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{9 + x^{2}}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

خطوة 4.2.5

أعِد كتابة $\frac{9 + x^{2}}{9}$ بالصيغة ${(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $9 + x^{2}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

خطوة 4.2.5.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $3^{2}$ من $9$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

خطوة 4.2.5.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

خطوة 4.2.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 + x^{2}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

خطوة 4.2.7

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\sqrt{9 + x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

خطوة 4.2.8

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} + \frac{3}{3}) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

خطوة 4.2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

خطوة 4.2.10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.10.1

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} - 1)}$

خطوة 4.2.10.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{3^{2}}} - 1)}$

خطوة 4.2.10.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{9}} - 1)}$

خطوة 4.2.10.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{9}{9} + \frac{x^{2}}{9}} - 1)}$

خطوة 4.2.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{9 + x^{2}}{9}} - 1)}$

خطوة 4.2.12

أعِد كتابة $\frac{9 + x^{2}}{9}$ بالصيغة ${(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.12.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $9 + x^{2}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{9}} - 1)}$

خطوة 4.2.12.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $3^{2}$ من $9$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}} - 1)}$

خطوة 4.2.12.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})} - 1)}$

خطوة 4.2.13

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 + x^{2}} - 1)}$

خطوة 4.2.14

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\sqrt{9 + x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} - 1)}$

خطوة 4.2.15

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}$

خطوة 4.2.16

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.16.1

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}$

خطوة 4.2.16.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot \frac{\sqrt{9 + x^{2}} - 1 \cdot 3}{3}}$

خطوة 4.2.16.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot \frac{\sqrt{9 + x^{2}} - 3}{3}}$

خطوة 4.2.16.4

اضرب $\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3}$ في $\frac{\sqrt{9 + x^{2}} - 3}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{(\sqrt{9 + x^{2}} + 3) (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{3 \cdot 3}}$

خطوة 4.2.16.5

اضرب $3$ في $3$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{(\sqrt{9 + x^{2}} + 3) (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{9}}$

خطوة 4.2.17

وسّع $(\sqrt{9 + x^{2}} + 3) (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.17.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} (\sqrt{9 + x^{2}} - 3) + 3 (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{9}}$

خطوة 4.2.17.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + \sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3 + 3 (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{9}}$

خطوة 4.2.17.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + \sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3 + 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

خطوة 4.2.18

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.18.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + \sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3 + 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.18.1.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $\sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3$ و $3 \sqrt{9 + x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} - 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

خطوة 4.2.18.1.2

أضف $- 3 \sqrt{9 + x^{2}}$ و $3 \sqrt{9 + x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 0 + 3 \cdot - 3}{9}}$

خطوة 4.2.18.1.3

أضف $\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}}$ و $0$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

خطوة 4.2.18.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.18.2.1

اضرب $\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.18.2.1.1

ارفع $\sqrt{9 + x^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

خطوة 4.2.18.2.1.2

ارفع $\sqrt{9 + x^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

خطوة 4.2.18.2.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{\sqrt{9 + x^{2}}}^{1 + 1} + 3 \cdot - 3}{9}}$

خطوة 4.2.18.2.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{\sqrt{9 + x^{2}}}^{2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

خطوة 4.2.18.2.2

أعِد كتابة ${\sqrt{9 + x^{2}}}^{2}$ بالصيغة $9 + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.18.2.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{9 + x^{2}}$ في صورة ${(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{({(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

خطوة 4.2.18.2.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

خطوة 4.2.18.2.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{(9 + x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

خطوة 4.2.18.2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.18.2.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{(9 + x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

خطوة 4.2.18.2.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{(9 + x^{2}) + 3 \cdot - 3}{9}}$

خطوة 4.2.18.2.2.5

بسّط.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{9 + x^{2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

خطوة 4.2.18.2.3

اضرب $3$ في $- 3$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{9 + x^{2} - 9}{9}}$

خطوة 4.2.18.3

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.18.3.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $9 + x^{2} - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.18.3.1.1

اطرح $9$ من $9$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{x^{2} + 0}{9}}$

خطوة 4.2.18.3.1.2

أضف $x^{2}$ و $0$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{9}}$

خطوة 4.2.18.3.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{3^{2}}}$

خطوة 4.2.19

أعِد كتابة $\frac{x^{2}}{3^{2}}$ بالصيغة ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2}}$

خطوة 4.2.20

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 (\frac{x}{3})$

خطوة 4.2.21

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.21.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 (\frac{x}{3})$

خطوة 4.2.21.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sec (\arctan (\frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3}))$

خطوة 4.3.3

بسّط بحذف الأس بالجذر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(1, \frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3})$ و $(1, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\arctan (\frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3})$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(1, \frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3})$ . إذن، $\sec (\arctan (\frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3}))$ تساوي $\sqrt{1 + {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

خطوة 4.3.3.2

أعِد كتابة ${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ بالصيغة $(x + 1) (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ في صورة ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 4.3.3.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 4.3.3.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.3.3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.3.3.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + (x + 1) (x - 1)}$

خطوة 4.3.3.2.5

بسّط.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + (x + 1) (x - 1)}$

خطوة 4.3.4

وسّع $(x + 1) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x (x - 1) + 1 (x - 1)}$

خطوة 4.3.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}$

خطوة 4.3.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}$

خطوة 4.3.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}$

خطوة 4.3.5.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

خطوة 4.3.5.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

خطوة 4.3.5.1.4

اضرب $x$ في $1$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1}$

خطوة 4.3.5.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - x + x - 1}$

خطوة 4.3.5.2

أضف $- x$ و $x$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} + 0 - 1}$

خطوة 4.3.5.3

أضف $x^{2}$ و $0$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - 1}$

خطوة 4.3.6

اطرح $1$ من $1$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

خطوة 4.3.7

أضف $x^{2}$ و $0$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{x^{2}}$

خطوة 4.3.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ هي معكوس $f (x) = \sec (\arctan (\frac{x}{3}))$ .

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$