حساب المثلثات الأمثلة

$f (x) = \arctan (2 x)$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \arctan (2 x)$ في صورة معادلة.

$y = \arctan (2 x)$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \arctan (2 y)$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\arctan (2 y) = x$ .

$\arctan (2 y) = x$

خطوة 3.2

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$2 y = \tan (x)$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $2 y = \tan (x)$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $2 y = \tan (x)$ على $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\tan (x)}{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\tan (x)}{2}$

خطوة 3.3.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\tan (x)}{2}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{\tan (x)}{2}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\tan (x)}{2}$ هي معكوس $f (x) = \arctan (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\arctan (2 x))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\arctan (2 x)) = \frac{\tan (\arctan (2 x))}{2}$

خطوة 5.2.3

تُعد دالتا المماس وقوس الظل دالتين متعاكستين.

$f^{- 1} (\arctan (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

خطوة 5.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\arctan (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

خطوة 5.2.4.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} (\arctan (2 x)) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{\tan (x)}{2})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{\tan (x)}{2}) = \arctan (2 (\frac{\tan (x)}{2}))$

خطوة 5.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\tan (x)}{2}) = \arctan (2 (\frac{\tan (x)}{2}))$

خطوة 5.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\tan (x)}{2}) = \arctan (\tan (x))$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\tan (x)}{2}$ هي معكوس $f (x) = \arctan (2 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\tan (x)}{2}$