حساب المثلثات الأمثلة

$f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$

خطوة 1

اكتب $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ في صورة معادلة.

$y = 7 \arcsin (x^{2})$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = 7 \arcsin (y^{2})$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $7 \arcsin (y^{2}) = x$ .

$7 \arcsin (y^{2}) = x$

خطوة 3.2

اقسِم كل حد في $7 \arcsin (y^{2}) = x$ على $7$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اقسِم كل حد في $7 \arcsin (y^{2}) = x$ على $7$ .

$\frac{7 \arcsin (y^{2})}{7} = \frac{x}{7}$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{7 \arcsin (y^{2})}{7} = \frac{x}{7}$

خطوة 3.2.2.1.2

اقسِم $\arcsin (y^{2})$ على $1$ .

$\arcsin (y^{2}) = \frac{x}{7}$

خطوة 3.3

خُذ دالة قوس الجيب العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الجيب.

$y^{2} = \sin (\frac{x}{7})$

خطوة 3.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ هي معكوس $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ و $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ وقارن بينهما.

خطوة 5.2

أوجِد مدى $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[- \frac{7 π}{2}, \frac{7 π}{2}]$

خطوة 5.3

Find the domain of the inverse.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أوجِد نطاق $\sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$\sin (\frac{x}{7}) \geq 0$

خطوة 5.3.1.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$\frac{x}{7} \geq \arcsin (0)$

خطوة 5.3.1.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$\frac{x}{7} \geq 0$

خطوة 5.3.1.2.3

اضرب كلا الطرفين في $7$ .

$\frac{x}{7} \cdot 7 \geq 0 \cdot 7$

خطوة 5.3.1.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.4.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x}{7} \cdot 7 \geq 0 \cdot 7$

خطوة 5.3.1.2.4.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x \geq 0 \cdot 7$

خطوة 5.3.1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.4.2.1

اضرب $0$ في $7$ .

$x \geq 0$

خطوة 5.3.1.2.5

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$\frac{x}{7} = π - 0$

خطوة 5.3.1.2.6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.6.1

اضرب كلا المتعادلين في $7$ .

$7 \frac{x}{7} = 7 (π - 0)$

خطوة 5.3.1.2.6.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.6.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.6.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$7 \frac{x}{7} = 7 (π - 0)$

خطوة 5.3.1.2.6.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 7 (π - 0)$

خطوة 5.3.1.2.6.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.6.2.2.1

اطرح $0$ من $π$ .

$x = 7 π$

خطوة 5.3.1.2.7

أوجِد فترة $\sin (\frac{x}{7})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 5.3.1.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{1}{7}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{7} |}$

خطوة 5.3.1.2.7.3

$\frac{1}{7}$ تساوي تقريبًا $0.\overline{142857}$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{\frac{1}{7}}$

خطوة 5.3.1.2.7.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \cdot 7$

خطوة 5.3.1.2.7.5

اضرب $7$ في $2$ .

$14 π$

خطوة 5.3.1.2.8

فترة دالة $\sin (\frac{x}{7})$ هي $14 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $14 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 14 π n, 7 π + 14 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5.3.1.2.9

وحّد الإجابات.

$x = 7 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5.3.1.2.10

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$0 < x < 7 π$

$7 π < x < 14 π$

خطوة 5.3.1.2.11

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.11.1

اختبر قيمة في الفترة $0 < x < 7 π$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.11.1.1

اختر قيمة من الفترة $0 < x < 7 π$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 2$

خطوة 5.3.1.2.11.1.2

استبدِل $x$ بـ $2$ في المتباينة الأصلية.

$\sin (\frac{2}{7}) \geq 0$

خطوة 5.3.1.2.11.1.3

الطرف الأيسر $0.28184285$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 5.3.1.2.11.2

اختبر قيمة في الفترة $7 π < x < 14 π$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.11.2.1

اختر قيمة من الفترة $7 π < x < 14 π$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 24$

خطوة 5.3.1.2.11.2.2

استبدِل $x$ بـ $24$ في المتباينة الأصلية.

$\sin (\frac{24}{7}) \geq 0$

خطوة 5.3.1.2.11.2.3

الطرف الأيسر $- 0.28305585$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 5.3.1.2.11.3

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$0 < x < 7 π$ صحيحة

$7 π < x < 14 π$ خطأ

$0 < x < 7 π$ صحيحة

$7 π < x < 14 π$ خطأ

خطوة 5.3.1.2.12

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$0 + 14 π n \leq x \leq 7 π + 14 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5.3.1.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

${x | x = 0 + 14 π n, x = 7 π + 14 π n}$ $n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5.3.2

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

يتكون الاتحاد من جميع العناصر الموجودة في كل فترة.

لا يوجد حل

خطوة 5.4

بما أن نطاق $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ لا يساوي مدى $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ ليست معكوس $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ .

لا يوجد معكوس

خطوة 6