حساب المثلثات الأمثلة

$f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$

خطوة 1

اكتب $f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$ في صورة معادلة.

$y = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = 2 + \cos (\frac{π}{2} y)$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 + \cos (\frac{π}{2} y) = x$ .

$2 + \cos (\frac{π}{2} y) = x$

خطوة 3.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$\cos (\frac{π}{2} y) = x - 2$

خطوة 3.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل جيب التمام.

$\frac{π}{2} y = \arccos (x - 2)$

خطوة 3.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اجمع $\frac{π}{2}$ و $y$ .

$\frac{π y}{2} = \arccos (x - 2)$

خطوة 3.5

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π y}{2} = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

خطوة 3.6

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1

بسّط $\frac{2}{π} \cdot \frac{π y}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π y}{2} = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

خطوة 3.6.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{π} (π y) = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

خطوة 3.6.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1.2.1

أخرِج العامل $π$ من $π y$ .

$\frac{1}{π} (π (y)) = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

خطوة 3.6.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{π} (π y) = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

خطوة 3.6.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

خطوة 3.6.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

اجمع $\frac{2}{π}$ و $\arccos (x - 2)$ .

$y = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$ هي معكوس $f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos ((2 + \cos (\frac{π}{2} x)) - 2)}{π}$

خطوة 5.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 + \cos (\frac{π}{2} x) - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

اطرح $2$ من $2$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos (0 + \cos (\frac{π}{2} x))}{π}$

خطوة 5.2.3.1.2

أضف $0$ و $\cos (\frac{π}{2} x)$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos (\cos (\frac{π}{2} x))}{π}$

خطوة 5.2.3.2

اجمع $\frac{π}{2}$ و $x$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos (\cos (\frac{π x}{2}))}{π}$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{π}{2} \cdot (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}))$

خطوة 5.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{π}{2} \cdot \frac{2 \arccos (x - 2)}{π})$

خطوة 5.3.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arccos (x - 2)))$

خطوة 5.3.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \arccos (x - 2)$ .

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arccos (x - 2))))$

خطوة 5.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arccos (x - 2)))$

خطوة 5.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\arccos (x - 2))$

خطوة 5.3.3.3

تُعد دالتا جيب التمام وقوس جيب التمام دالتين متعاكستين.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + x - 2$

خطوة 5.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 + x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اطرح $2$ من $2$ .

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = x + 0$

خطوة 5.3.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$ هي معكوس $f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$