حساب المثلثات الأمثلة

$f (x) = 2 \sin^{3} (4 x + 1)$

خطوة 1

اكتب $f (x) = 2 \sin^{3} (4 x + 1)$ في صورة معادلة.

$y = 2 \sin^{3} (4 x + 1)$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = 2 \sin^{3} (4 y + 1)$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 \sin^{3} (4 y + 1) = x$ .

$2 \sin^{3} (4 y + 1) = x$

خطوة 3.2

اقسِم كل حد في $2 \sin^{3} (4 y + 1) = x$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اقسِم كل حد في $2 \sin^{3} (4 y + 1) = x$ على $2$ .

$\frac{2 \sin^{3} (4 y + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \sin^{3} (4 y + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

خطوة 3.2.2.1.2

اقسِم $\sin^{3} (4 y + 1)$ على $1$ .

$\sin^{3} (4 y + 1) = \frac{x}{2}$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\sin (4 y + 1) = \sqrt[3]{\frac{x}{2}}$

خطوة 3.4

بسّط $\sqrt[3]{\frac{x}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة $\sqrt[3]{\frac{x}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$

خطوة 3.4.2

اضرب $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

خطوة 3.4.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اضرب $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

خطوة 3.4.3.2

ارفع $\sqrt[3]{2}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

خطوة 3.4.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

خطوة 3.4.3.4

أضف $1$ و $2$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

خطوة 3.4.3.5

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{3}}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

خطوة 3.4.3.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

خطوة 3.4.3.5.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.4.3.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.4.3.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

خطوة 3.4.3.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

خطوة 3.4.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

خطوة 3.4.4.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{4}}{2}$

خطوة 3.4.5

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2}$

خطوة 3.4.5.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}$

خطوة 3.5

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل الجيب.

$4 y + 1 = \arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})$

خطوة 3.6

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$4 y = \arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) - 1$

خطوة 3.7

اقسِم كل حد في $4 y = \arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) - 1$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

اقسِم كل حد في $4 y = \arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) - 1$ على $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} + \frac{- 1}{4}$

خطوة 3.7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} + \frac{- 1}{4}$

خطوة 3.7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} + \frac{- 1}{4}$

خطوة 3.7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$ هي معكوس $f (x) = 2 \sin^{3} (4 x + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 (2 \sin^{3} (4 x + 1))}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

خطوة 5.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

اضرب $4$ في $2$ .

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{8 \sin^{3} (4 x + 1)}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

خطوة 5.2.3.1.2

أعِد كتابة $8 \sin^{3} (4 x + 1)$ بالصيغة ${(2 \sin (4 x + 1))}^{3}$ .

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{{(2 \sin (4 x + 1))}^{3}}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

خطوة 5.2.3.1.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\frac{2 \sin (4 x + 1)}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

خطوة 5.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\frac{2 \sin (4 x + 1)}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

خطوة 5.2.3.2.2

اقسِم $\sin (4 x + 1)$ على $1$ .

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\sin (4 x + 1))}{4} - \frac{1}{4}$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (4 (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) + 1)$

خطوة 5.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (4 (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4}) + 4 (- \frac{1}{4}) + 1)$

خطوة 5.3.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (4 (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4}) + 4 (- \frac{1}{4}) + 1)$

خطوة 5.3.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) + 4 (- \frac{1}{4}) + 1)$

خطوة 5.3.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{4}$ إلى بسط الكسر.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) + 4 (\frac{- 1}{4}) + 1)$

خطوة 5.3.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) + 4 (\frac{- 1}{4}) + 1)$

خطوة 5.3.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) - 1 + 1)$

خطوة 5.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) - 1 + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) + 0)$

خطوة 5.3.4.2

أضف $\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})$ و $0$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}))$

خطوة 5.3.5

تُعد دالتا الجيب وقوس الجيب دالتين متعاكستين.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}^{3}$

خطوة 5.3.6

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{{\sqrt[3]{4 x}}^{3}}{2^{3}})$

خطوة 5.3.7

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{4 x}}^{3}$ بالصيغة $4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{4 x}$ في صورة ${(4 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{{({(4 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}})$

خطوة 5.3.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{{(4 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}})$

خطوة 5.3.7.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{{(4 x)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

خطوة 5.3.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{{(4 x)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

خطوة 5.3.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{4 x}{2^{3}})$

خطوة 5.3.7.5

بسّط.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{4 x}{2^{3}})$

خطوة 5.3.8

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{4 x}{8})$

خطوة 5.3.9

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.9.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{4 x}{2 (4)})$

خطوة 5.3.9.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{4 x}{2 \cdot 4})$

خطوة 5.3.9.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{4 x}{4}$

خطوة 5.3.10

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.10.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{4 x}{4}$

خطوة 5.3.10.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$ هي معكوس $f (x) = 2 \sin^{3} (4 x + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$