حساب المثلثات الأمثلة

$y = \frac{2}{x - 1} + 1$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{2}{y - 1} + 1$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{2}{y - 1} + 1 = x$ .

$\frac{2}{y - 1} + 1 = x$

خطوة 2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\frac{2}{y - 1} = x - 1$

خطوة 2.3

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$y - 1, 1, 1$

خطوة 2.3.2

احذِف الأقواس.

$y - 1, 1, 1$

خطوة 2.3.3

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$y - 1$

خطوة 2.4

اضرب كل حد في $\frac{2}{y - 1} = x - 1$ في $y - 1$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اضرب كل حد في $\frac{2}{y - 1} = x - 1$ في $y - 1$ .

$\frac{2}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - (y - 1)$

خطوة 2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - (y - 1)$

خطوة 2.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 = x (y - 1) - (y - 1)$

خطوة 2.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 = x y + x \cdot - 1 - (y - 1)$

خطوة 2.4.3.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$2 = x y - 1 \cdot x - (y - 1)$

خطوة 2.4.3.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$2 = x y - x - (y - 1)$

خطوة 2.4.3.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$2 = x y - x - y - - 1$

خطوة 2.4.3.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$2 = x y - x - y + 1$

خطوة 2.5

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x y - x - y + 1 = 2$ .

$x y - x - y + 1 = 2$

خطوة 2.5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أضف $x$ إلى كلا المتعادلين.

$x y - y + 1 = 2 + x$

خطوة 2.5.2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x y - y = 2 + x - 1$

خطوة 2.5.2.3

اطرح $1$ من $2$ .

$x y - y = x + 1$

خطوة 2.5.3

أخرِج العامل $y$ من $x y - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$y x - y = x + 1$

خطوة 2.5.3.2

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$y x + y \cdot - 1 = x + 1$

خطوة 2.5.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y x + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = x + 1$

خطوة 2.5.4

اقسِم كل حد في $y (x - 1) = x + 1$ على $x - 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1

اقسِم كل حد في $y (x - 1) = x + 1$ على $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

خطوة 2.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

خطوة 2.5.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

خطوة 2.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x + 1}{x - 1}$

خطوة 3

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ هي معكوس $f (x) = \frac{2}{x - 1} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1)$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(\frac{2}{x - 1} + 1) + 1}{(\frac{2}{x - 1} + 1) - 1}$

خطوة 4.2.3

اضرب بسط الكسر وقاسمه في $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اضرب $\frac{\frac{2}{x - 1} + 1 + 1}{\frac{2}{x - 1} + 1 - 1}$ في $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{2}{x - 1} + 1 + 1}{\frac{2}{x - 1} + 1 - 1}$

خطوة 4.2.3.2

اجمع.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(x - 1) (\frac{2}{x - 1} + 1 + 1)}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1} + 1 - 1)}$

خطوة 4.2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

خطوة 4.2.5

بسّط بالحذف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

خطوة 4.2.5.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

خطوة 4.2.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

خطوة 4.2.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

خطوة 4.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

اضرب $x - 1$ في $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + x - 1 + (x - 1) \cdot 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

خطوة 4.2.6.2

اضرب $x - 1$ في $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + x - 1 + x - 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

خطوة 4.2.6.3

اطرح $1$ من $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{x + 1 + x - 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

خطوة 4.2.6.4

أضف $x$ و $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x + 1 - 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

خطوة 4.2.6.5

اطرح $1$ من $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x + 0}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

خطوة 4.2.6.6

أضف $2 x$ و $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

خطوة 4.2.7

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.1

اضرب $x - 1$ في $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

خطوة 4.2.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1}$

خطوة 4.2.7.3

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1}$

خطوة 4.2.7.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 - 1 \cdot x + 1}$

خطوة 4.2.7.5

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 - x + 1}$

خطوة 4.2.7.6

اطرح $1$ من $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{x + 1 - x + 1}$

خطوة 4.2.7.7

اطرح $x$ من $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{0 + 1 + 1}$

خطوة 4.2.7.8

أضف $0$ و $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{1 + 1}$

خطوة 4.2.7.9

أضف $1$ و $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2}$

خطوة 4.2.8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2}$

خطوة 4.2.8.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{x + 1}{x - 1})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{(\frac{x + 1}{x - 1}) - 1} + 1$

خطوة 4.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1.1

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}} + 1$

خطوة 4.3.3.1.2

اجمع $- 1$ و $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}} + 1$

خطوة 4.3.3.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x - 1}} + 1$

خطوة 4.3.3.1.4

أعِد كتابة $\frac{x + 1 - (x - 1)}{x - 1}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - x + 1}{x - 1}} + 1$

خطوة 4.3.3.1.4.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - x + 1}{x - 1}} + 1$

خطوة 4.3.3.1.4.3

اطرح $x$ من $x$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{0 + 1 + 1}{x - 1}} + 1$

خطوة 4.3.3.1.4.4

أضف $0$ و $1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{1 + 1}{x - 1}} + 1$

خطوة 4.3.3.1.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{2}{x - 1}} + 1$

خطوة 4.3.3.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

خطوة 4.3.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

خطوة 4.3.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = x - 1 + 1$

خطوة 4.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 1 + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = x + 0$

خطوة 4.3.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ هي معكوس $f (x) = \frac{2}{x - 1} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$