حساب المثلثات الأمثلة

$y = \log_{2} (2 x - 3)$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \log_{2} (2 y - 3)$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\log_{2} (2 y - 3) = x$ .

$\log_{2} (2 y - 3) = x$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\log_{2} (2 y - 3) = x$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$2^{x} = 2 y - 3$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 y - 3 = 2^{x}$ .

$2 y - 3 = 2^{x}$

خطوة 2.3.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$2 y = 2^{x} + 3$

خطوة 2.3.3

اقسِم كل حد في $2 y = 2^{x} + 3$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم كل حد في $2 y = 2^{x} + 3$ على $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{2^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y}{2} = \frac{2^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

خطوة 2.3.3.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{2^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

خطوة 2.3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $2^{x}$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2^{x}$ .

$y = \frac{2 \cdot 2^{x - 1}}{2} + \frac{3}{2}$

خطوة 2.3.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$y = \frac{2 \cdot 2^{x - 1}}{2 (1)} + \frac{3}{2}$

خطوة 2.3.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{2 \cdot 2^{x - 1}}{2 \cdot 1} + \frac{3}{2}$

خطوة 2.3.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{2^{x - 1}}{1} + \frac{3}{2}$

خطوة 2.3.3.3.1.2.4

اقسِم $2^{x - 1}$ على $1$ .

$y = 2^{x - 1} + \frac{3}{2}$

خطوة 2.3.3.3.2

لكتابة $2^{x - 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = 2^{x - 1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

خطوة 2.3.3.3.3

اجمع $2^{x - 1}$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{2^{x - 1} \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

خطوة 2.3.3.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{2^{x - 1} \cdot 2 + 3}{2}$

خطوة 2.3.3.3.5

اضرب $2^{x - 1}$ في $2$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.3.5.1

اضرب $2^{x - 1}$ في $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.3.5.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{2^{x - 1} \cdot 2^{1} + 3}{2}$

خطوة 2.3.3.3.5.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{2^{x - 1 + 1} + 3}{2}$

خطوة 2.3.3.3.5.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 1 + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.3.5.2.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$y = \frac{2^{x + 0} + 3}{2}$

خطوة 2.3.3.3.5.2.2

أضف $x$ و $0$ .

$y = \frac{2^{x} + 3}{2}$

خطوة 3

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$ هي معكوس $f (x) = \log_{2} (2 x - 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2^{\log_{2} (2 x - 3)} + 3}{2}$

خطوة 4.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x - 3 + 3}{2}$

خطوة 4.2.3.2

أضف $- 3$ و $3$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x + 0}{2}$

خطوة 4.2.3.3

أضف $2 x$ و $0$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x}{2}$

خطوة 4.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x}{2}$

خطوة 4.2.4.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{2^{x} + 3}{2})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2 (\frac{2^{x} + 3}{2}) - 3)$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2 (\frac{2^{x} + 3}{2}) - 3)$

خطوة 4.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2^{x} + 3 - 3)$

خطوة 4.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $2^{x} + 3 - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

اطرح $3$ من $3$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2^{x} + 0)$

خطوة 4.3.4.2

أضف $2^{x}$ و $0$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2^{x})$

خطوة 4.3.5

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $x$ خارج الأُس.

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = x \log_{2} (2)$

خطوة 4.3.6

أساس اللوغاريتم $2$ لـ $2$ هو $1$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = x \cdot 1$

خطوة 4.3.7

اضرب $x$ في $1$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$ هي معكوس $f (x) = \log_{2} (2 x - 3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$