حساب المثلثات الأمثلة

$y = 1 + 2 \arctan (x)$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = 1 + 2 \arctan (y)$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $1 + 2 \arctan (y) = x$ .

$1 + 2 \arctan (y) = x$

خطوة 2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 \arctan (y) = x - 1$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $2 \arctan (y) = x - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $2 \arctan (y) = x - 1$ على $2$ .

$\frac{2 \arctan (y)}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \arctan (y)}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $\arctan (y)$ على $1$ .

$\arctan (y) = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\arctan (y) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 2.4

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$y = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

خطوة 3

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$ هي معكوس $f (x) = 1 + 2 \arctan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{1 + 2 \arctan (x)}{2} - \frac{1}{2})$

خطوة 4.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{1 + 2 \arctan (x) - 1}{2})$

خطوة 4.2.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $1 + 2 \arctan (x) - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{2 \arctan (x) + 0}{2})$

خطوة 4.2.4.2

أضف $2 \arctan (x)$ و $0$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{2 \arctan (x)}{2})$

خطوة 4.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{2 \arctan (x)}{2})$

خطوة 4.2.5.2

اقسِم $\arctan (x)$ على $1$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\arctan (x))$

خطوة 4.2.6

تُعد دالتا المماس وقوس الظل دالتين متعاكستين.

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (\tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}))$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})) = 1 + 2 \arctan (\tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}))$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$ هي معكوس $f (x) = 1 + 2 \arctan (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$