حساب المثلثات الأمثلة

$y = 3 - \sqrt{x - 1}$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = 3 - \sqrt{y - 1}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3 - \sqrt{y - 1} = x$ .

$3 - \sqrt{y - 1} = x$

خطوة 2.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$- \sqrt{y - 1} = x - 3$

خطوة 2.3

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${(- \sqrt{y - 1})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

خطوة 2.4

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y - 1}$ في صورة ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

خطوة 2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

بسّط ${(- {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- {(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

خطوة 2.4.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1 {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

خطوة 2.4.2.1.3

اضرب ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ في $1$ .

${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

خطوة 2.4.2.1.4

اضرب الأُسس في ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

خطوة 2.4.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

خطوة 2.4.2.1.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(y - 1)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

خطوة 2.4.2.1.5

بسّط.

$y - 1 = {(x - 3)}^{2}$

خطوة 2.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

بسّط ${(x - 3)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1.1

أعِد كتابة ${(x - 3)}^{2}$ بالصيغة $(x - 3) (x - 3)$ .

$y - 1 = (x - 3) (x - 3)$

خطوة 2.4.3.1.2

وسّع $(x - 3) (x - 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 1 = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

خطوة 2.4.3.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 1 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

خطوة 2.4.3.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 1 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

خطوة 2.4.3.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$y - 1 = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

خطوة 2.4.3.1.3.1.2

انقُل $- 3$ إلى يسار $x$ .

$y - 1 = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

خطوة 2.4.3.1.3.1.3

اضرب $- 3$ في $- 3$ .

$y - 1 = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

خطوة 2.4.3.1.3.2

اطرح $3 x$ من $- 3 x$ .

$y - 1 = x^{2} - 6 x + 9$

خطوة 2.5

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = x^{2} - 6 x + 9 + 1$

خطوة 2.5.2

أضف $9$ و $1$ .

$y = x^{2} - 6 x + 10$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 10$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 10$ هي معكوس $f (x) = 3 - \sqrt{x - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = {(3 - \sqrt{x - 1})}^{2} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

خطوة 4.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

أعِد كتابة ${(3 - \sqrt{x - 1})}^{2}$ بالصيغة $(3 - \sqrt{x - 1}) (3 - \sqrt{x - 1})$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = (3 - \sqrt{x - 1}) (3 - \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

خطوة 4.2.3.2

وسّع $(3 - \sqrt{x - 1}) (3 - \sqrt{x - 1})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 3 (3 - \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} (3 - \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

خطوة 4.2.3.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} (3 - \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

خطوة 4.2.3.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} \cdot 3 - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

خطوة 4.2.3.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.3.1.1

اضرب $3$ في $3$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 + 3 (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} \cdot 3 - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

خطوة 4.2.3.3.1.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} \cdot 3 - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

خطوة 4.2.3.3.1.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

خطوة 4.2.3.3.1.4

اضرب $- \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.3.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + 1 \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

خطوة 4.2.3.3.1.4.2

اضرب $\sqrt{x - 1}$ في $1$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

خطوة 4.2.3.3.1.4.3

ارفع $\sqrt{x - 1}$ إلى القوة $1$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

خطوة 4.2.3.3.1.4.4

ارفع $\sqrt{x - 1}$ إلى القوة $1$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

خطوة 4.2.3.3.1.4.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + {\sqrt{x - 1}}^{1 + 1} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

خطوة 4.2.3.3.1.4.6

أضف $1$ و $1$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + {\sqrt{x - 1}}^{2} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

خطوة 4.2.3.3.1.5

أعِد كتابة ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ بالصيغة $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.3.1.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x - 1}$ في صورة ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

خطوة 4.2.3.3.1.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

خطوة 4.2.3.3.1.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

خطوة 4.2.3.3.1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.3.1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

خطوة 4.2.3.3.1.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + x - 1 - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

خطوة 4.2.3.3.1.5.5

بسّط.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + x - 1 - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

خطوة 4.2.3.3.2

اطرح $1$ من $9$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + x - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

خطوة 4.2.3.3.3

اطرح $3 \sqrt{x - 1}$ من $- 3 \sqrt{x - 1}$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 - 6 \sqrt{x - 1} + x - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

خطوة 4.2.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 - 6 \sqrt{x - 1} + x - 6 \cdot 3 - 6 (- \sqrt{x - 1}) + 10$

خطوة 4.2.3.5

اضرب $- 6$ في $3$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 - 6 \sqrt{x - 1} + x - 18 - 6 (- \sqrt{x - 1}) + 10$

خطوة 4.2.3.6

اضرب $- 1$ في $- 6$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 - 6 \sqrt{x - 1} + x - 18 + 6 \sqrt{x - 1} + 10$

خطوة 4.2.4

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $8 - 6 \sqrt{x - 1} + x - 18 + 6 \sqrt{x - 1} + 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1.1

أضف $- 6 \sqrt{x - 1}$ و $6 \sqrt{x - 1}$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 + x - 18 + 0 + 10$

خطوة 4.2.4.1.2

أضف $8 + x - 18$ و $0$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 + x - 18 + 10$

خطوة 4.2.4.2

اطرح $18$ من $8$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = x - 10 + 10$

خطوة 4.2.4.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 10 + 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.3.1

أضف $- 10$ و $10$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = x + 0$

خطوة 4.2.4.3.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (x^{2} - 6 x + 10)$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - \sqrt{(x^{2} - 6 x + 10) - 1}$

خطوة 4.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اطرح $1$ من $10$ .

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - \sqrt{x^{2} - 6 x + 9}$

خطوة 4.3.3.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - \sqrt{x^{2} - 6 x + 3^{2}}$

خطوة 4.3.3.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

خطوة 4.3.3.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}$

خطوة 4.3.3.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 3$ .

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - \sqrt{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 4.3.3.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - (x - 3)$

خطوة 4.3.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - x + 3$

خطوة 4.3.3.5

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - x + 3$

خطوة 4.3.4

أضف $3$ و $3$ .

$f (x^{2} - 6 x + 10) = - x + 6$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 10$ هي معكوس $f (x) = 3 - \sqrt{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 10$