حساب المثلثات الأمثلة

$y = \cos (h (x)) - \sin (h (x))$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$h = \cos (y (x)) - \sin (y (x))$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\cos (y x) - \sin (y x) = h$ .

$\cos (y x) - \sin (y x) = h$

خطوة 2.2

استخدِم المتطابقة لحل المعادلة. في هذه المتطابقة، تمثل $θ$ الزاوية الناتجة عن تعيين النقطة $(a, b)$ على الرسم البياني، ومن ثمَّ يمكن إيجادها باستخدام $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ حيث $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ و $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

خطوة 2.3

عيّن المعادلة لإيجاد قيمة $θ$ .

$\tan^{-1} (\frac{1}{- 1})$

خطوة 2.4

خُذ المماس العكسي لإيجاد حل المعادلة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اقسِم $1$ على $- 1$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

خطوة 2.4.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan^{-1} (- 1)$ هي $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

خطوة 2.5

أوجِد قيمة $R$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$R = \sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

خطوة 2.5.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$R = \sqrt{1 + 1}$

خطوة 2.5.3

أضف $1$ و $1$ .

$R = \sqrt{2}$

خطوة 2.6

عوّض بالقيم المعروفة في المعادلة.

$(\sqrt{2}) \sin (y x - \frac{π}{4}) = h$

خطوة 2.7

اقسِم كل حد في $\sqrt{2} \sin (y x - \frac{π}{4}) = h$ على $\sqrt{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

اقسِم كل حد في $\sqrt{2} \sin (y x - \frac{π}{4}) = h$ على $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (y x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{h}{\sqrt{2}}$

خطوة 2.7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{2} \sin (y x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{h}{\sqrt{2}}$

خطوة 2.7.2.1.2

اقسِم $\sin (y x - \frac{π}{4})$ على $1$ .

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h}{\sqrt{2}}$

خطوة 2.7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.1

اضرب $\frac{h}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 2.7.3.2

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.2.1

اضرب $\frac{h}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 2.7.3.2.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

خطوة 2.7.3.2.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

خطوة 2.7.3.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 2.7.3.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 2.7.3.2.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.2.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.7.3.2.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.7.3.2.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.7.3.2.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.2.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.7.3.2.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{2^{1}}$

خطوة 2.7.3.2.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{2}$

خطوة 2.8

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل الجيب.

$y x - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})$

خطوة 2.9

أضف $\frac{π}{4}$ إلى كلا المتعادلين.

$y x = \sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$

خطوة 2.10

اقسِم كل حد في $y x = \sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

اقسِم كل حد في $y x = \sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$ على $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{\frac{π}{4}}{x}$

خطوة 2.10.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y x}{x} = \frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{\frac{π}{4}}{x}$

خطوة 2.10.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{\frac{π}{4}}{x}$

خطوة 2.10.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.3.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = \frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 2.10.3.1.2

اضرب $\frac{π}{4}$ في $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}$

خطوة 3

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (h)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (h) = \frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (h) = \frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}$ هي معكوس $f (h) = \cos (h (x)) - \sin (h (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (h)) = h$ و $f (f^{- 1} (h)) = h$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (h))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (h))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\cos (h (x)) - \sin (h (x)))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (h (x)) - \sin (h (x))) = \frac{\sin^{-1} (\frac{(\cos (h (x)) - \sin (h (x))) \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}$

خطوة 4.2.3

اضرب $h$ في $x$ .

$f^{- 1} (\cos (h (x)) - \sin (h (x))) = \frac{\sin^{-1} (\frac{(\cos (h x) - \sin (h x)) \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}$

خطوة 4.2.4

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\sin^{-1} (\frac{(\cos (h x) - \sin (h x)) \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}$ .

$f^{- 1} (\cos (h (x)) - \sin (h (x))) = \frac{\sin^{-1} (\frac{\sqrt{2} (\cos (h x) - \sin (h x))}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (h))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (h))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) = \cos ((\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) (x)) - \sin ((\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) (x))$

خطوة 4.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) = \cos (\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} \cdot x + \frac{π}{4 x} \cdot x) - \sin ((\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) (x))$

خطوة 4.3.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 4.3.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) = \cos (\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4 x} \cdot x) - \sin ((\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) (x))$

خطوة 4.3.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $4 x$ .

$f (\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) = \cos (\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{x \cdot 4} \cdot x) - \sin ((\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) (x))$

خطوة 4.3.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 4.3.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) = \cos (\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin ((\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) (x))$

خطوة 4.3.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) = \cos (\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} \cdot x + \frac{π}{4 x} \cdot x)$

خطوة 4.3.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 4.3.3.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) = \cos (\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4 x} \cdot x)$

خطوة 4.3.3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.6.1

أخرِج العامل $x$ من $4 x$ .

$f (\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) = \cos (\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{x \cdot 4} \cdot x)$

خطوة 4.3.3.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) = \cos (\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{x \cdot 4} \cdot x)$

خطوة 4.3.3.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) = \cos (\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4})$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (h)) = h$ و $f (f^{- 1} (h)) = h$ ، إذن $f^{- 1} (h) = \frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}$ هي معكوس $f (h) = \cos (h (x)) - \sin (h (x))$ .

$f^{- 1} (h) = \frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}$