حساب المثلثات الأمثلة

$y = \arcsin (5 - 3 x^{2})$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \arcsin (5 - 3 y^{2})$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\arcsin (5 - 3 y^{2}) = x$ .

$\arcsin (5 - 3 y^{2}) = x$

خطوة 2.2

خُذ دالة قوس الجيب العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الجيب.

$5 - 3 y^{2} = \sin (x)$

خطوة 2.3

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$- 3 y^{2} = \sin (x) - 5$

خطوة 2.4

اقسِم كل حد في $- 3 y^{2} = \sin (x) - 5$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اقسِم كل حد في $- 3 y^{2} = \sin (x) - 5$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 y^{2}}{- 3} = \frac{\sin (x)}{- 3} + \frac{- 5}{- 3}$

خطوة 2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 y^{2}}{- 3} = \frac{\sin (x)}{- 3} + \frac{- 5}{- 3}$

خطوة 2.4.2.1.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{\sin (x)}{- 3} + \frac{- 5}{- 3}$

خطوة 2.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{2} = - \frac{\sin (x)}{3} + \frac{- 5}{- 3}$

خطوة 2.4.3.1.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$y^{2} = - \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}$

خطوة 2.5

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

خطوة 2.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

خطوة 2.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

خطوة 2.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

خطوة 3

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ هي معكوس $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ و $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ وقارن بينهما.

خطوة 4.2

أوجِد مدى $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

خطوة 4.3

أوجِد نطاق $\sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3} \geq 0$

خطوة 4.3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اطرح $\frac{5}{3}$ من كلا طرفي المتباينة.

$- \frac{\sin (x)}{3} \geq - \frac{5}{3}$

خطوة 4.3.2.2

بما أن العبارة في كل متعادل لها نفس القاسم، إذن يجب أن يكون البسطان متساويين.

$- \sin (x) \geq - 5$

خطوة 4.3.2.3

اقسِم كل حد في $- \sin (x) \geq - 5$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

اقسِم كل حد في $- \sin (x) \geq - 5$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- \sin (x)}{- 1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

خطوة 4.3.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\sin (x)}{1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

خطوة 4.3.2.3.2.2

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$\sin (x) \leq \frac{- 5}{- 1}$

خطوة 4.3.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.3.1

اقسِم $- 5$ على $- 1$ .

$\sin (x) \leq 5$

خطوة 4.3.2.4

مدى الجيب هو $- 1 \leq y \leq 1$ . وبما أن $5$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 4.3.3

النطاق هو جميع الأعداد الحقيقية.

$(- \infty, \infty)$

خطوة 4.4

بما أن نطاق $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ لا يساوي مدى $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ ليست معكوس $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ .

لا يوجد معكوس

خطوة 5