حساب المثلثات الأمثلة

$\frac{4 \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$

خطوة 1

حلّل كل حد إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{4 \sin (x)}{1^{2} - \sin^{2} (x)} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$

خطوة 1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = \sin (x)$ .

$\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$

خطوة 2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)), 1 - \sin (x), 1 + \sin (x)$

خطوة 2.2

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 2.3

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 2.4

المضاعف المشترك الأصغر لـ $1, 1, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$1$

خطوة 2.5

عامل $1 + \sin (x)$ هو $1 + \sin (x)$ نفسها.

$(1 + \sin (x)) = 1 + \sin (x)$

تحدث $(1 + \sin (x))$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.6

عامل $1 - \sin (x)$ هو $1 - \sin (x)$ نفسها.

$(1 - \sin (x)) = 1 - \sin (x)$

تحدث $(1 - \sin (x))$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.7

عامل $1 + \sin (x)$ هو $1 + \sin (x)$ نفسها.

$(1 + \sin (x)) = 1 + \sin (x)$

تحدث $(1 + \sin (x))$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.8

المضاعف المشترك الأصغر لـ $1 + \sin (x), 1 - \sin (x), 1 - \sin (x), 1 + \sin (x)$ هو حاصل ضرب كل العوامل في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$

خطوة 3

اضرب كل حد في $\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$ في $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$ في $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 \sin (x) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

أخرِج العامل $1 - \sin (x)$ من $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$4 \sin (x) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

خطوة 3.3.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 \sin (x) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

خطوة 3.3.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 \sin (x) = (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

خطوة 3.3.1.2

ارفع $1 + \sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{1} (1 + \sin (x)) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

خطوة 3.3.1.3

ارفع $1 + \sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{1} {(1 + \sin (x))}^{1} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

خطوة 3.3.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{1 + 1} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

خطوة 3.3.1.5

أضف $1$ و $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

خطوة 3.3.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

خطوة 3.3.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + (\sin (x) - 1) (1 - \sin (x))$

خطوة 3.3.1.7

أخرِج العامل $- 1$ من $\sin (x)$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + (- 1 (- \sin (x)) - 1) (1 - \sin (x))$

خطوة 3.3.1.8

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + (- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)) (1 - \sin (x))$

خطوة 3.3.1.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 (- \sin (x) + 1) (1 - \sin (x))$

خطوة 3.3.1.10

أعِد ترتيب الحدود.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 (- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)$

خطوة 3.3.1.11

ارفع $- \sin (x) + 1$ إلى القوة $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 ({(- \sin (x) + 1)}^{1} (- \sin (x) + 1))$

خطوة 3.3.1.12

ارفع $- \sin (x) + 1$ إلى القوة $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 ({(- \sin (x) + 1)}^{1} {(- \sin (x) + 1)}^{1})$

خطوة 3.3.1.13

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 {(- \sin (x) + 1)}^{1 + 1}$

خطوة 3.3.1.14

أضف $1$ و $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 {(- \sin (x) + 1)}^{2}$

خطوة 3.3.1.15

أعِد كتابة $- 1 {(- \sin (x) + 1)}^{2}$ بالصيغة $- {(- \sin (x) + 1)}^{2}$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - {(- \sin (x) + 1)}^{2}$

خطوة 4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $\sin (x)$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

${(1 + \sin (x))}^{2} - {(- \sin (x) + 1)}^{2} = 4 \sin (x)$

خطوة 4.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $\sin (x)$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $4 \sin (x)$ من كلا المتعادلين.

${(1 + \sin (x))}^{2} - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أعِد كتابة ${(1 + \sin (x))}^{2}$ بالصيغة $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.2.2

وسّع $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.3.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.2.3.1.2

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.2.3.1.3

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.2.3.1.4

اضرب $\sin (x)$ في $\sin (x)$ .

$1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.2.3.2

أضف $\sin (x)$ و $\sin (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.2.4

أعِد كتابة ${(- \sin (x) + 1)}^{2}$ بالصيغة $(- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - ((- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)) - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.2.5

وسّع $(- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- \sin (x) (- \sin (x) + 1) + 1 (- \sin (x) + 1)) - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.2.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- \sin (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x) + 1)) - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.2.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- \sin (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.2.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.6.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- 1 \cdot - 1 \sin (x) \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.2.6.1.2

اضرب $\sin (x)$ في $\sin (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.6.1.2.1

انقُل $\sin (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- 1 \cdot - 1 (\sin (x) \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.2.6.1.2.2

اضرب $\sin (x)$ في $\sin (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- 1 \cdot - 1 \sin^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.2.6.1.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (1 \sin^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.2.6.1.4

اضرب $\sin^{2} (x)$ في $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.2.6.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.2.6.1.6

اضرب $- \sin (x)$ في $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.2.6.1.7

اضرب $1$ في $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) + 1) - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.2.6.2

اطرح $\sin (x)$ من $- \sin (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1) - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.2.7

طبّق خاصية التوزيع.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) - (- 2 \sin (x)) - 1 \cdot 1 - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.2.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.8.1

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 \cdot 1 - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.2.8.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اطرح $\sin^{2} (x)$ من $\sin^{2} (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + 0 + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.3.2

أضف $1 + 2 \sin (x)$ و $0$ .

$1 + 2 \sin (x) + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.3.3

اطرح $1$ من $1$ .

$2 \sin (x) + 2 \sin (x) + 0 - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.3.4

أضف $2 \sin (x) + 2 \sin (x)$ و $0$ .

$2 \sin (x) + 2 \sin (x) - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.4

أضف $2 \sin (x)$ و $2 \sin (x)$ .

$4 \sin (x) - 4 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2.5

اطرح $4 \sin (x)$ من $4 \sin (x)$ .

$0 = 0$

خطوة 4.3

بما أن $0 = 0$ ، ستظل المعادلة صحيحة دائمًا لأي قيمة لـ $x$ .

جميع الأعداد الحقيقية

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

جميع الأعداد الحقيقية

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$