حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (x) + \sin (2 x) > 0$

خطوة 1

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$\sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) > 0 = 0$

خطوة 2

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $\sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $\sin^{1} (x)$ .

$\sin (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

خطوة 2.3

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (2 \cos (x)) = 0$

خطوة 2.4

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (2 \cos (x))$ .

$\sin (x) (1 + 2 \cos (x)) = 0$

خطوة 3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\sin (x) = 0$

$1 + 2 \cos (x) = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (x) = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (0)$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 4.2.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - 0$

خطوة 4.2.4

اطرح $0$ من $π$ .

$x = π$

خطوة 4.2.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.2.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $1 + 2 \cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $1 + 2 \cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$1 + 2 \cos (x) = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $1 + 2 \cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 \cos (x) = - 1$

خطوة 5.2.2

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

خطوة 5.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- \frac{1}{2})$ هي $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

خطوة 5.2.5

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

خطوة 5.2.6

بسّط $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 5.2.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 5.2.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

خطوة 5.2.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

خطوة 5.2.6.3.2

اطرح $2 π$ من $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

خطوة 5.2.7

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 5.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 5.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 5.2.8

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $\sin (x) (1 + 2 \cos (x)) = 0$ صحيحة.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

ادمج $2 π n$ و $π + 2 π n$ في $π n$ .

$x = π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$0 < x < \frac{2 π}{3}$

$\frac{2 π}{3} < x < π$

$π < x < \frac{4 π}{3}$

$\frac{4 π}{3} < x < 2 π$

$2 π < x < \frac{8 π}{3}$

خطوة 9

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اختبر قيمة في الفترة $0 < x < \frac{2 π}{3}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اختر قيمة من الفترة $0 < x < \frac{2 π}{3}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 1$

خطوة 9.1.2

استبدِل $x$ بـ $1$ في المتباينة الأصلية.

$\sin (1) + \sin (2 (1)) > 0$

خطوة 9.1.3

الطرف الأيسر $1.75076841$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 9.2

اختبر قيمة في الفترة $\frac{2 π}{3} < x < π$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{2 π}{3} < x < π$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 3$

خطوة 9.2.2

استبدِل $x$ بـ $3$ في المتباينة الأصلية.

$\sin (3) + \sin (2 (3)) > 0$

خطوة 9.2.3

الطرف الأيسر $- 0.13829549$ ليس أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 9.3

اختبر قيمة في الفترة $π < x < \frac{4 π}{3}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اختر قيمة من الفترة $π < x < \frac{4 π}{3}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 4$

خطوة 9.3.2

استبدِل $x$ بـ $4$ في المتباينة الأصلية.

$\sin (4) + \sin (2 (4)) > 0$

خطوة 9.3.3

الطرف الأيسر $0.23255575$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 9.4

اختبر قيمة في الفترة $\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 5$

خطوة 9.4.2

استبدِل $x$ بـ $5$ في المتباينة الأصلية.

$\sin (5) + \sin (2 (5)) > 0$

خطوة 9.4.3

الطرف الأيسر $- 1.50294538$ ليس أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 9.5

اختبر قيمة في الفترة $2 π < x < \frac{8 π}{3}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

اختر قيمة من الفترة $2 π < x < \frac{8 π}{3}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 7$

خطوة 9.5.2

استبدِل $x$ بـ $7$ في المتباينة الأصلية.

$\sin (7) + \sin (2 (7)) > 0$

خطوة 9.5.3

الطرف الأيسر $1.64759395$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 9.6

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$0 < x < \frac{2 π}{3}$ صحيحة

$\frac{2 π}{3} < x < π$ خطأ

$π < x < \frac{4 π}{3}$ صحيحة

$\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ خطأ

$2 π < x < \frac{8 π}{3}$ صحيحة

$0 < x < \frac{2 π}{3}$ صحيحة

$\frac{2 π}{3} < x < π$ خطأ

$π < x < \frac{4 π}{3}$ صحيحة

$\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ خطأ

$2 π < x < \frac{8 π}{3}$ صحيحة

خطوة 10

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$0 + 2 π n < x < \frac{2 π}{3} + 2 π n$ or $π + 2 π n < x < \frac{4 π}{3} + 2 π n$ or $2 π + 2 π n < x < \frac{8 π}{3} + 2 π n$ , for any integer $n$

خطوة 11

اجمع الفترات.

$π + 2 π n < x < \frac{4 π}{3} + 2 π n or 2 π n < x < \frac{2 π}{3} + 2 π n or 2 π + 2 π n < x < \frac{8 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 12