حساب المثلثات الأمثلة

$2 \sin^{2} (x) + 1 = 4 \sin (x)$

خطوة 1

عوّض بقيمة $\sin (x)$ التي تساوي $u$ .

$2 {(u)}^{2} + 1 = 4 (u)$

خطوة 2

اطرح $4 u$ من كلا المتعادلين.

$2 u^{2} + 1 - 4 u = 0$

خطوة 3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4

عوّض بقيم $a = 2$ و $b = - 4$ و $c = 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 5.1.2.2

اضرب $- 8$ في $1$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 2}$

خطوة 5.1.3

اطرح $8$ من $16$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 2}$

خطوة 5.1.4

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 5.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 5.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$u = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$u = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{4}$

خطوة 5.3

بسّط $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{4}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2}$

خطوة 6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}, \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

خطوة 7

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}, \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

خطوة 8

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

مدى الجيب هو $- 1 \leq y \leq 1$ . وبما أن $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 10

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\frac{2 - \sqrt{2}}{2})$

خطوة 10.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

احسِب قيمة $\arcsin (\frac{2 - \sqrt{2}}{2})$ .

$x = 0.29725136$

خطوة 10.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = (3.14159265) - 0.29725136$

خطوة 10.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

احذِف الأقواس.

$x = 3.14159265 - 0.29725136$

خطوة 10.4.2

احذِف الأقواس.

$x = (3.14159265) - 0.29725136$

خطوة 10.4.3

اطرح $0.29725136$ من $3.14159265$ .

$x = 2.84434129$

خطوة 10.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 10.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 10.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 10.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 10.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 0.29725136 + 2 π n, 2.84434129 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 11

اسرِد جميع الحلول.

$x = 0.29725136 + 2 π n, 2.84434129 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$