حساب المثلثات الأمثلة

$15 \cos^{2} (x) = 13 + \sin (x)$

خطوة 1

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $13$ من كلا المتعادلين.

$15 \cos^{2} (x) - 13 = \sin (x)$

خطوة 1.2

اطرح $\sin (x)$ من كلا المتعادلين.

$15 \cos^{2} (x) - 13 - \sin (x) = 0$

خطوة 2

استبدِل $15 \cos^{2} (x)$ بـ $15 (1 - \sin^{2} (x))$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$15 (1 - \sin^{2} (x)) - 13 - \sin (x) = 0$

خطوة 3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$15 \cdot 1 + 15 (- \sin^{2} (x)) - 13 - \sin (x) = 0$

خطوة 3.2

اضرب $15$ في $1$ .

$15 + 15 (- \sin^{2} (x)) - 13 - \sin (x) = 0$

خطوة 3.3

اضرب $- 1$ في $15$ .

$15 - 15 \sin^{2} (x) - 13 - \sin (x) = 0$

خطوة 4

اطرح $13$ من $15$ .

$- 15 \sin^{2} (x) + 2 - \sin (x) = 0$

خطوة 5

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$- 15 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 2 = 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة $\sin (x)$ التي تساوي $u$ .

$- 15 {(u)}^{2} - (u) + 2 = 0$

خطوة 7

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 15 u^{2} - u + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 15 u^{2}$ .

$- (15 u^{2}) - u + 2 = 0$

خطوة 7.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- u$ .

$- (15 u^{2}) - u + 2 = 0$

خطوة 7.1.3

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$- (15 u^{2}) - u - 1 \cdot - 2 = 0$

خطوة 7.1.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (15 u^{2}) - u$ .

$- (15 u^{2} + u) - 1 \cdot - 2 = 0$

خطوة 7.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (15 u^{2} + u) - 1 (- 2)$ .

$- (15 u^{2} + u - 2) = 0$

خطوة 7.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 15 \cdot - 2 = - 30$ ومجموعهما $b = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.1

اضرب في $1$ .

$- (15 u^{2} + 1 u - 2) = 0$

خطوة 7.2.1.1.2

أعِد كتابة $1$ في صورة $- 5$ زائد $6$

$- (15 u^{2} + (- 5 + 6) u - 2) = 0$

خطوة 7.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- (15 u^{2} - 5 u + 6 u - 2) = 0$

خطوة 7.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$- (15 u^{2} - 5 u + 6 u - 2) = 0$

خطوة 7.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$- (5 u (3 u - 1) + 2 (3 u - 1)) = 0$

خطوة 7.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $3 u - 1$ .

$- ((3 u - 1) (5 u + 2)) = 0$

خطوة 7.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- (3 u - 1) (5 u + 2) = 0$

خطوة 8

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$3 u - 1 = 0$

$5 u + 2 = 0$

خطوة 9

عيّن قيمة العبارة $3 u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عيّن قيمة $3 u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 u - 1 = 0$

خطوة 9.2

أوجِد قيمة $u$ في $3 u - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$3 u = 1$

خطوة 9.2.2

اقسِم كل حد في $3 u = 1$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 u = 1$ على $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

خطوة 9.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

خطوة 9.2.2.2.1.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{1}{3}$

خطوة 10

عيّن قيمة العبارة $5 u + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عيّن قيمة $5 u + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$5 u + 2 = 0$

خطوة 10.2

أوجِد قيمة $u$ في $5 u + 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$5 u = - 2$

خطوة 10.2.2

اقسِم كل حد في $5 u = - 2$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

اقسِم كل حد في $5 u = - 2$ على $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{- 2}{5}$

خطوة 10.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 u}{5} = \frac{- 2}{5}$

خطوة 10.2.2.2.1.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{- 2}{5}$

خطوة 10.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$u = - \frac{2}{5}$

خطوة 11

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- (3 u - 1) (5 u + 2) = 0$ صحيحة.

$u = \frac{1}{3}, - \frac{2}{5}$

خطوة 12

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1}{3}, - \frac{2}{5}$

خطوة 13

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{3}$

$\sin (x) = - \frac{2}{5}$

خطوة 14

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\frac{1}{3})$

خطوة 14.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

احسِب قيمة $\arcsin (\frac{1}{3})$ .

$x = 0.3398369$

خطوة 14.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

خطوة 14.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1

احذِف الأقواس.

$x = 3.14159265 - 0.3398369$

خطوة 14.4.2

احذِف الأقواس.

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

خطوة 14.4.3

اطرح $0.3398369$ من $3.14159265$ .

$x = 2.80175574$

خطوة 14.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 14.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 14.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 14.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 14.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 0.3398369 + 2 π n, 2.80175574 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 15

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = - \frac{2}{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (- \frac{2}{5})$

خطوة 15.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

احسِب قيمة $\arcsin (- \frac{2}{5})$ .

$x = - 0.41151684$

خطوة 15.3

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 (3.14159265) + 0.41151684 + 3.14159265$

خطوة 15.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.1

اطرح $2 π$ من $2 (3.14159265) + 0.41151684 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.41151684 + 3.14159265 - 2 π$

خطوة 15.4.2

الزاوية الناتجة لـ $3.55310949$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 (3.14159265) + 0.41151684 + 3.14159265$ .

$x = 3.55310949$

خطوة 15.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 15.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 15.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 15.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 15.6

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.6.1

اجمع $2 π$ مع $- 0.41151684$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- 0.41151684 + 2 π$

خطوة 15.6.2

اطرح $0.41151684$ من $2 π$ .

$5.87166846$

خطوة 15.6.3

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = 5.87166846$

خطوة 15.7

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 3.55310949 + 2 π n, 5.87166846 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 16

اسرِد جميع الحلول.

$x = 0.3398369 + 2 π n, 2.80175574 + 2 π n, 3.55310949 + 2 π n, 5.87166846 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$